10. Türchen

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    • Folgender Matlab-Code liefert noch einiges an Zusatzinfos:

      Quellcode: Tag10.m

      1. clear all;
      2. M = (diag([1 2 3 4 5 0],-1)+diag([6 5 4 3 2 1],1))'/6;
      3. state = [1 0 0 0 0 0 0]';
      4. steps = 0;
      5. N = 6;
      6. cookiesN = zeros(N,1);
      7. indizes = [0 1 2 3 4 5 0]'/6;
      8. accuracy = 100000;
      9. cookiesMedianV = 0;
      10. cookiesMedian = 0;
      11. for i = 1:accuracy
      12. state = M*state;
      13. steps = steps+i*state(7);
      14. if state(7) > cookiesMedianV
      15. cookiesMedian = (i-6)/2+6;
      16. cookiesMedianV = state(7);
      17. end
      18. cookiesN(mod(i,N)+1) = cookiesN(mod(i,N)+1) + dot(state, indizes);
      19. cookiesN(mod(i-1,N)+1) = cookiesN(mod(i-1,N)+1) + 6*state(7);
      20. end
      21. cookies = (steps-6)/2+6
      22. cookies2 = sum(cookiesN)
      23. missing=sum(state)
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      M ist die Übergangsmatrix der Markov-Kette, wobei ich die 6 als Drain modelliert habe und nicht als Fixpunkt.Zuerst habe ich einfach die Anzahl der Schritte simuliert (wobei ich an accuracy so lange herumgespielt habe, bis sich diese nicht mehr geändert hat) und dann daraus die cookies berechnet.
      Hier im Forum kam dann die Frage auf, wer wie viele Kekse bekommt und dazu fülle ich das Feld cookiesN. Das kann dan mithilfe von cookies2 als Kontrolle genutzt werden [Anmerkung: Für kleine accuracy sind viele Spiele noch nicht beendet. Die dort bereits verteilten Kese sind zwar in cookies2 enthalten, aber nicht in cookies]. Schließlich wird noch der Median berechnet.

      Ergebnisse: cookies=cookies2=44.6 missing=3.0138e-322 (Anteil noch nicht beendeter Spiele), cookiesMedian=9, cookiesN=
      6,25075445702846
      8,54205563462175
      6,38766181321688
      8,54122733272323
      6,36158372975461
      8,51671703265489
      \binom{2^{\binom{2^2}{2}}}{2} = 2016
    • Mit dem Erwartungswert und bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Übergänge zwischen den Zuständen ist das auch für 10.-Klässler leicht zu rechnen.
      Hier der Rechenweg mit Excel mit Darstellung der Wahrscheinlichkeiten als Bruch (war jeweils der Form 'Anzahl / Gesamt' entspricht):

      Der Erwartungswert bei 6 vollen Tellern ist 6.

      Der Erwartungswert bei 5 vollen Tellern ist die Summe aus
      dem Erwartungswert für 6 volle Teller multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit diesen Zustand zu erreichen (1/6)
      und
      1 plus dem Erwartungswert für 4 volle Teller multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit diesen Zustand zu erreichen (5/6).

      usw.

      Der Erwartungswert bei 0 vollen Tellern ist
      dem Erwartungswert für 1 vollen Teller multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit (6/6 = 1) diesen Zustand zu erreichen.



      2016-10.PNG