14. Türchen

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    • Das Schöne an Multiple Choice Antworten ist natürlich, dass man sich Einiges an Arbeit sparen kann und z.B. einfach falsche Antwortmöglichkeiten ausschließen kann. Das hat auch pierrot in seiner Lösung gemacht.
      Was aber noch fehlt, ist die Bestätigung, dass diese Lösungen auch allsamt funktionieren. Wir haben schließlich nur gezeigt, dass die anderen Zahlen keine Lösungen sein können, aber nicht, dass die letzte bleibende Möglichkeit auch tatsächlich eine Lösung ist. Das ist aber gar nicht so schwer, ich möchte es hier nachliefern.

      Wir zeigen, dass alle Zahlen der Form N = 8k oder N = 8k-1 mit positiven ganzen Zahlen k funktionieren.

      Erstmal zu N = 8k. Offensichtlich funktioniert N = 8 durch
      1+7 = 3+5 und 2+8 = 4+6.
      Es ist leicht das induktiv zu erweitern. Angenommen, es funktioniere für N = 8k. Betrachte N = 8k+8. Es genügt die neuen Zahlen 8k+1, 8k+2, ..., 8k+8 passen anzuordnen. Aber das ist nicht schwer.
      (8k+1) + (8k+7) = (8k+3) + (8k+5) und (8k+2) + (8k+8) = (8k+4) + (8k+6).
      Jetzt zu N = 8k-1. Für die ungerade Summe können wir obige Variante problemlos übernehmen. Die gerade Summen sind hier das Problematische. Wir betrachten also die Zahlen 2, 4, 6, ..., 8k-2. Äquivalent können wir also auch 1, 2, 3, ..., 4k-1 betrachten. Es genügt hieraus Zahlen zu finden, die die Summe (1+2+...+(4k-1))/2 = [(4k-1)4k]/4 bilden, denn die restlichen Zahlen bilden dann die gleiche Summe. Beachte, dass dieser Bruch immer ganzzahlig ist.
      Betrachte nun eine Zahl m derart, dass
      • (4k-1)+(4k-2)+...+(4k-1-m) < [(4k-1)4k]/4
      • (4k-1)+(4k-2)+...+(4k-1-m-1) > [(4k-1)4k]/4
      Das heißt insbesondere [(4k-1)4k]/4 - [(4k-1)+(4k-2)+...+(4k-1-m)] > 0 und [(4k-1)4k]/4 - (4k-1)+(4k-2)+...+(4k-1-m) < 4k-1-m-1. Wähle also die Zahlen (4k-1), (4k-2), ..., (4k-1-m), [(4k-1)4k]/4 - [(4k-1)+(4k-2)+...+(4k-1-m)] als eine Summe. Diese Konstruktion funktioniert offensichtlich. Fertig.

      Beachte, dass die zweite Konstruktion auch für N = 8k funktioniert. :)