7. Türchen

    • 205/24 = 8,54166...

      Der Grinch schlägt also nur dann zu, wenn es 9 (oder mehr) Kekse zu holen gibt. Der perfekt spielende Knecht Ruprecht hat also nur 2 Lösungsmöglichkeiten mit einer realistischen Aussicht auf Gewinnmaximierung: Entweder immer 8 oder immer 9 Kekse auf den Teller legen.

      Legt er immer 8, schlägt der Grinch nie zu und er verbleibt am Ende mit 96 Keksen (der Grinch mit den restlichen 109).

      Legt er immer 9, schlägt der Grinch jedes Mal zu und erlangt so selbst 108 Kekse (der Knecht Ruprecht erhält also 97).

      Lösung 2 liefert also einen Keks mehr für den Knecht Ruprecht.
    • Doch, die Strategie ist im Grundsatz schon richtig beschrieben. Knecht Ruprecht spielt optimal, wenn er bis zu 11 Teller mit 8 Keksen belegt und ansonsten mit 9 Keksen. Der Grinch spielt optimal, wenn er Teller mit 8 (oder weniger) Keksen Knecht Ruprecht belässt und Teller mit 9 (oder mehr) Keksen selbst nimmt.

      Aus Sicht Knecht Ruprechts erhält der Grinch so maximal 108 Kekse, Knecht Ruprecht selbst mindestens 97.
      Aus Sicht des Grinches erhält Knecht Ruprecht so maximal 97 Kekse, der Grinch selbst mindestens 108.

      Damit hat sich ein Gleichgewicht eingestellt - keine Seite kann durch Abweichung von der Strategie ihr eigenes Ergebnis verbessern (nur verschlechtern, was somit nicht optimal wäre).

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    • Eine Möglichkeit für optimale Strategien:

      - Ruprecht legt Floor[n/k] Kekse auf den Teller, wobei n die Anzahl verbleibender Kekse ist und k die Anzahl verbleibender Teller
      - Der Grinch überlässt Ruprecht den Teller genau dann, wenn höchstens Floor[n/k] Kekse draufliegen
      (Floor und Ceiling sind die untere bzw. obere Gaussklammer)

      Das liefert dann g*Ceiling[n/(r+g)]-Max[0,g-Mod[n,r+g]] Kekse für den Grinch, wobei n die Anzahl Kekse, r die Anzahl Teller von Ruprecht und g die Anzahl Teller vom Grinch, jeweils zu Beginn, angibt.
      Für n=205, r=g=12 liefert das dann 108 Kekse für den Grinch.

      Mein Beweis für die Optimalität der Strategien, der dann auch gratis die Formel mitliefert, ist allerdings ein wenig länglich. Hab das Gefühl, dass das auch kürzer geht.
      Ich werd ihn morgen oder so mal ausformulieren, falls es bis dahin keine kürzere Lösung gibt.
    • Knapp formuliert: Der Grinch geht nach der Regel (R) vor, die Danjark beschrieben hat (>=9 Kekse nehmen, <=8 Kekse nicht nehmen). Damit sind für Ruprecht <=97 Kekse drin, und genau 97 Kekse, wenn Ruprecht immer 9 Kekse bietet.

      Die Frage ist nun, ob der Grinch eine Strategie hat, mit der Ruprecht weniger als 97 Kekse bekommt.
      Dazu weiche der Grinch r mal von seiner Regel (R) ab. Ruprecht biete in jeder Runde 9 Kekse.
      Fall 1: r=12. Hier erhält Ruprecht 12*9=108 Kekse.
      Fall 2: r<12. Hier muss der Grinch dennoch 12 mal nehmen, somit erhält Ruprecht 205-12*9=97 Kekse.

      Bei bestem Spiel von Grinch und Ruprecht erhält Ruprecht also 97 Kekse.
    • Wenn man es ganz genau angehen will, muss man nach jedem Zug in Betracht ziehen, ob sich eventuell die Zuschlagsbedingung des Grinches aufgrund des Quotienten aus verbleibenden Keksen und verbleibenden Runden ÄNDERT. Dies habe ich getan und es ist nicht der Fall bei 8 oder 9 Keksen --> Deshalb oben nur knapp formuliert als 8,54166...

      Werden immer 8 Kekse gesetzt, geht dieser Wert gegen 9 (letzter Quotient ist 117/13 = 9);
      Werden immer 9 Kekse gesetzt, geht dieser Wert in Richtung 8, erreicht 8 aber nicht (letzter Quotient ist 108/13=8,3077).

      Damit ändert sich die Zuschlagsbedingung des Grinches nie und bleibt konstant bei: Zuschlagen wenn K>=9.

      Wählt man andere Werte als 8 oder 9, ändert sich die Zuschlagsbedingung des Grinches MIT SICHERHEIT, aber nie zu Gunsten des Knecht Ruprechts.
    • Angenommen:


      1. Teller 9
      2. Teller 9
      3. Teller 9
      4. Teller 9
      5. TEller 9
      6. Teller 9
      7. TEller 9
      8. Teller 9
      9. Teller 9
      10. Teller 9
      11. Teller 9
      = 99


      nähme sich der Grinch den 12. Teller endet der Aufteilungsprozess also legt Ruprecht
      12. Teller 9
      daraus folgt Grinch =108


      Ruprecht 205-108 =97



      Mögliche Fehlerquelle wäre das Denken, wie ich es gemacht habe, dass der Grinch wartet und so entsteht



      12. - 22. Teller also 11 Tellerinhalte = 99 an Ruprecht


      es blieben also noch 205-198 in der Dose also 7


      Da jetzt Ruprecht 4 rauslegen würde, wäre man dann bei 103 für den Grinch
      und 102 für Ruprecht...


      Dies würde der Grinch, wie bereits beschrieben nie machen, da er weiß wie viele noch in der Dose sind....