15. Türchen

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    • 15. Türchen

      Folgender Java-Code löst das Problem:
      (e f g h i j k sind in der Reihenfolge die Ziffern in den Feldern)

      Java-Quellcode: Tag15.java

      1. package kalender;
      2. public class Tag15 {
      3. static int e,f,g,h,i,j,k, sum3;
      4. public static void main(String[] args) {
      5. for(e=1;e<10;e++){
      6. for(f=1;f<10;f++){
      7. for(g=1;g<10;g++){
      8. for(h=0;h<10;h++){
      9. for(i=0;i<10;i++){
      10. for(j=1;j<10;j++){
      11. for(k=0;k<10;k++){
      12. if(! (10*(e+g+f+j)+f+j+i+k==100*e+10*h+k)){
      13. continue;
      14. }
      15. sum3 = 100*(e-g)+k-i;
      16. if(sum3==10*e+f){
      17. printT("1");
      18. continue;
      19. }
      20. if(sum3==10*g+j){
      21. printT("2");
      22. continue;
      23. }
      24. if(sum3==10*f+i){
      25. printT("3");
      26. continue;
      27. }
      28. if(sum3==10*j+k){
      29. printT("4");
      30. }
      31. }
      32. }
      33. }
      34. }
      35. }
      36. }
      37. }
      38. }
      39. static int zaehler = 1;
      40. static void printT(String pos){
      41. System.out.println("Möglichkeit " + zaehler++);
      42. System.out.print("e " + e + " f " + f + " g " + g + " h " + h + " i " + i + " j " + j + " k " + k);
      43. System.out.println(" Wichtel " + pos);
      44. }
      45. }
      Alles anzeigen
      Läuft auch schneller durch, als man denken könnte, und liefert

      Möglichkeit 1
      e 2 f 9 g 1 h 0 i 5 j 6 k 0 Wichtel 3
      \binom{2^{\binom{2^2}{2}}}{2} = 2016

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Math5D ()

    • Hier ein wenig Vereinfachung, dass man es auch systematisch per Hand durchtesten kann. Wahrscheinlich geht es schöner und schneller als untere Betrachtung. Es ist aber auch sehr ausführlich geschrieben, die meisten dieser Zusammenhänge lassen sich recht schnell erkennen.

      Wir wollen die einzelnen Ziffern des Quadrates erstmal mit A,B,C,D,E,F,G benennen. Und zwar wie folgt:

      AB
      CDE
      FG

      Außerdem bezeichnen wir mit xy die Dezimaldarstellung mit den Ziffern x,y. (Dieses Forum braucht Latex! ;-D)
      Es gilt nun der Reihe nach
      • Die Alter der Wichteln sind alle zweistellig.
      • Die Summe von drei der Wichtelalter ist CDE. Also gilt CDE <= 99+99+99 < 300. Also 1 <= C <= 2.
      • Die Summe von allen Wichtelaltern ist ADG. Also folgt wieder ADG < 400 und damit 1 <= A <= 3.
      • Also ist aber das Alter AB zwischen 10 und 30. Das Alter CF zwischen 10 und 20.
      • Das heißt wiederum ADG <= 19+29+99+99<300. Also 1 <= A <= 2.
      • Beachte: Es kann nicht A = C gelten. Sonst unterscheiden sich ADG und CDE um weniger als 10. Aber sie unterscheiden sich um das Alter eines Wichtels. Dieses ist nach Voraussetzung größer als 10. Da offensichtlich ADG > CDE, folgt A = 2 und C = 1.
      • Wir wollen nun ADG durch die Summe der Wichtelalter ausdrücken: 100A+10D+G = 10(A+B+C+F)+B+E+F+G <=> 90A+10D=10(B+C+F)+B+E+F. Das heißt insbesondere, dass 10 | B+E+F. (Das '|' steht für 'teilt'.)
      • Auch CDE wollen wir ein wenig anders darstellen. 100C+10D+E = ADG - (Ein Alter) = 100A+10D+G - (Ein Alter) <=> (Ein Alter)+E-G = 100. Beachte, dass wir dabei A = 2 und C = 1 benutzt haben. Man kann sich nun leicht überlegen, dass (Ein Alter) = BE oder FG, da die restlichen Alter zwischen 10 und 29 liegen und obige Gleichung somit unmöglich auf 100 kommen kann.
      • Fall 1: (Ein Alter) = BE: Es folgt 10B+2E-G=100. Man sieht leicht, dass aus Größenargumente B = 9 folgt. Nun ist also 2E = 10 + G, also auch E >= 5. Wir erinnern uns an 10 | B+E+F. Hier folgt B+E+F=20, also E+F = 11. Nun ist es hier nur noch Fleißarbeit, die wenigen Möglichkeiten durchzutesten.
      • Fall 2: (Ein Alter) = FG: Es folgt analog wie in Fall 1 auch F = 9 und damit 90+G = 100+G-E <=> E = 10, Widerspruch.
      Damit funktionieren nur die in Fall 1 ertesteten Lösungen. Also folgt die Lösung

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    • Kezer schrieb:

      Beachte: Es kann nicht A = C gelten. Sonst unterscheiden sich ADG und CDE um weniger als 10. Aber sie unterscheiden sich um das Alter eines Wichtels. Dieses ist nach Voraussetzung größer als 10. Da offensichtlich ADG > CDE, folgt A = 2 und C = 1.
      Oh man, der Schritt hatte mir per Hand gefehlt. Da hätte ich wirklich drauf kommen können :)
      So hatte ich einfach zu viele Möglichkeiten für A und C, um sie komplett durchzugehen.
      \binom{2^{\binom{2^2}{2}}}{2} = 2016