01: Weihnachtskuchen / Christmas Pudding

  • Wenn man sich die Aufgabe mit einer Skizze verdeutlicht, wird sie recht einfach:


    Skizze


    Die Radien der unteren beiden Halbkugelkuchen sind trivial zu ermitteln, wenn man die Hälfte eines Kugelvolumens ansetzt. Damit gilt:


    V = 1/2 * 4/3 * π * r3
    r = (3/2 * V / π)1/3


    r1 = (3/2 * V1 / π)1/3
    r2 = (3/2 * V2 / π)1/3


    Der Durchmesser des oberen Kuchen ergibt sich aus dem Dreieck M1M2A per Pythagoras :


    d0 = sqrt((r1+r2)² - (r1-r2)²) = sqrt(r1² + 2r1r2 + r2² - r1² + 2r1r2 - r2²) = 2 * sqrt(r1*r2)


    Nun kann man einsetzen:


    d0 = 2 * sqrt((3/2 * V1 / π)1/3 * (3/2 * V2 / π)1/3) = 2 * (9/4 * V1 * V2 / π²)1/6

    Für das Halbkugelvolumen in Abhängigkeit des Durchmesser gilt wiederum:


    V = 1/2 * 1/6 * π * d3


    Also: V0 = 1/2 * 1/6 * π * d03 = 1/12 * π * (2 * (9/4 * V1 * V2 / π²)1/6)3 = 8/12 * π * sqrt(9/4 * V1 * V2 / π²) = 8/12 * 3/2 * π / π * sqrt(V1 * V2) = sqrt(V1 * V2) = sqrt(10 * 15) = 5 * sqrt(6)


    V0 = 12,25 l

  • Ergänzung zwecks Schönheit: Ich hatte mich gefragt, ob das Ergebnis einem der üblichen Mittelwert-Begriffe entspricht. Und wirklich: Das gesuchte Volumen ist das geometrische Mittel der beiden gegebenen Volumen, wie es ja im Lösungsvorschlag von "Pi mal Daumen" steht: V0 = sqrt(V1*V2).

    Was übrigens auch schon für die Radien gilt, wie man auch in der Lösung lesen kann: r0 = d0/2 = sqrt(r1*r2).

    Beides lässt sich auch schon erahnen, wenn man sich vorstellt, was mit V0 geschieht, wenn z.B. V2 immer kleiner und kleiner oder immer größer und größer wird.

  • Ich habe zur Bestimmung der Abhängigkeit des Radius r von den gegebenen Radien r_1 und r_2 natürlich auch (wie Pi mal Daumen) den Satz des Pythagoras verwendet. Dann hab ich allerdings das Pi und den Rest (Bruch 4/3) weggelassen und über die Potenzgesetze argumentiert: Aus r = Wurzel(r_1*r_2) folgt sofort V = Wurzel(V_1*V_2) = Wurzel(15*10) = Wurzel(150) = 5*Wurzel(6).

  • ... weil es viel mehr Spaß macht zunächst hier untereinander über Lösungsstrazegien zu plaudern.


    ... weil so die besten unsere Lösungsvarianten berücksichtigt werden (ein Scherz:-)


    ... weil dazu im Dezember keine Zeit ist - schließlich muss das Team ja schon das Forum hier betreuen: Vielen Dank!

    --
    Frank


    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

  • [IMG:https://i.ibb.co/DMsjJ4w/01.png] ( Wir betrachten die Figur beim Schnitt der vertikalen Ebene durch die beiden Berührungspunkte der obersten mit den beiden unten Halbkugeln. ) Seien C,D,E die Berührungspunkte und F der Schnittpunkt der gemeinsamen Tangenten an die Ausgangskreise.


    Als Tangentenabschnitte am ersten Kreis sind FC und FD gleich lang. Analog gilt FC = FE am zweiten Kreis, d.h. FC = FD = FE = r0 .


    Aufgrund der Tangenteneigenschaft sind ACF, ADF, BCF und BEF allesamt rechte Winkel. Als Winkel zwischen paarweise orthogonalen Geraden sind demnach die Winkel CAD und CFE, sowie die Winkel CFD und CBE gleich groß. Also sind beide Drachenvierecke ACFD und FCBE ähnlich, d.h. das Verhältnis ihrer Schenkel ist gleich:


    r0 / r1 = r2 / r0 bzw. r02 = r1 r2 ,


    d.h. r0 ist das geometrische Mittel von r1 und r2 . Da das Kugelvolumen zur dritten Potenz des Radius proportional ist, ist demzufolge auch V0 das geometrische Mittel von V1 und V2 . Also V0 = √150 ≈ 12,247.

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