04: Schlittentest / Sledge Test

  • Hab hier was, das zumindest erklärt, warum bei den Zahlen in der Aufgabenstellung am Ende eine ganze Zahl rauskommt: https://i.imgur.com/xvuwBMR.png

    Kürzer ist es bestimmt, wenn man von Anfang an mit Zahlen arbeitet anstatt sie erst am Ende einzusetzen, aber das mache ich nicht so gern ;)

    Hat jemand eine schönere Lösung? Würde mich sehr interessieren, ob es hier auch einen Trick wie bei einigen anderen Aufgaben gibt (vielleicht eine geometrische Lösung?) oder ob das nur durch Rechnerei mit Gleichungssystem geht.

  • GraphZahl Dein Link zum Bild funktioniert bei mir nicht.


    Ich habe leider auch keine schöne Lösung, sondern lediglich ein entsprechendes Gleichungssystem mit Wolframalpha lösen lassen. Egal, was ich als Unbekannte eingesetzt habe, es kamen immer viele krumme Zahlen (oft der Form a + b*sqrt(111617)) raus, nur das Endergebnis dann halt glatt. Auch gibt es, glaube ich, keine Geschwindigkeit, die man annehmen kann, sodass die Strecken alle ganzzahlig wären.

  • Hier meine grahische Lösung mit DynaGeo:

    https://www.dropbox.com/s/tne74ooagsw21db/2018-04.png?dl=0


    sowie die dazugehörige Datei:

    https://www.dropbox.com/s/3xoiguguznvvrpo/2018_04.geo?dl=0


    Nach unten wächst die Zeit.

    Damit kann ich den rot markierten Punkt F (und D und E) so verschieben, dass das Überholmanöver bei D stattfindet.

    Die (ebenfalls rot markierte) Begegnung bei C kann man nach oben oder unten verschieben - also die Geschwindigkeit variieren. Das hat jedoch erwartungsgemäß keine Auswirkung (außer einer geänderten Skalierung der Zeitachse).

    --
    Frank


    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

  • Das ist einer der (für mich immer seltsamen) Fälle, bei denen Wolfram sich schwer tut, wenn man nicht bekannte Zahlen einsetzt sondern mit Variablen rechnet. Hier kann man z.B. nicht statt 411 einen Term wie 2a+2b+d+e schreiben:


    Klappt nicht:

    a+b=116; d=126; e=53; x*a=e; x*(a+b)=(c+d+e); x(a+b+c)=(e+d+c+b+a+a+b+c); a>0;b>0;c>0;d>0;e>0,b+c+d


    Funktioniert:

    a+b=116; d=126; e=53; x*a=e; x*(a+b)=(c+d+e); x(a+b+c)=(53+d+c+116+116+c); a>0; b>0; c>0; d>0; e>0, b+c+d

    --
    Frank


    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

  • Wohingegen das...


    a+b=116;d=126;e=53;x*a=53;x*(a+b)=(c+d+e);a>0;b>0;c>0;d>0;e>0;x(a+b+c)=2(a+b+c)+d+e,b+c+d


    ...wieder einwandfrei funktioniert und den Einsatz von Zahlen minimiert. Mit x*a=e geht auch das nicht mehr...

  • Ich bin auf folgende "wolframfreie" Lösung gekommen, die nur Mittelstufenmathematik (noch nicht einmal eine Wurzel) benötigt:


    Sei k = v_z : v_y der Quotient der beiden Geschwindigkeiten.

    Aus den letzten drei Spiegelpunkten des Aufgabentextes erhält man folgende Informationen: (Streckenlängen ohne Querstrich)


    (1) EF = k*AB ==> AB = 53 : k und BC = 116 - 53 : k


    (2) CF = k*AC = 116k ==> AF = AC + CF = 116 + 116k (2*)


    (3) AF + AD = k*AD ==> AF = (k - 1)*AD


    Zudem folgt aus (1) und (2): CE = k*BC = k*(116 - 53 : k) = 116k - 53

    Somit gilt für die gesuchte Streckenlänge: BE = BC + CE = 116 - 53 : k + 116k - 53 = 116k - 53 : k + 63 (4)


    Man kennt also BE, falls man k kennt (bzw. weitere Informationen über k erlangt).


    Es gilt: CD = AF - 295 = 116 + 116k - 295 = 116k - 179


    AD = AC + CD = 116 + 116k - 179 = 116k - 63 (5)


    (3) ==> AF = (k-1)*AD = (k-1)*(116k - 63) = 116k² - 179k + 63 (6)


    Gleichsetzen von (2*) und (6) liefert: 116k² - 179k + 63 = 116k + 116 ==> 116k² - 295k - 53 = 0 (7)


    Normalerweise wäre man nun geneigt diese quadratische Gleichung (7) zu lösen und dann in (4) einzusetzen.


    Es geht jedoch etwas eleganter: Dividiert man (7) durch k (k ist ja ungleich 0) ==> 116k - 53 : k - 295 = 0


    oder 116k - 53 : k = 295.


    Somit kann man den roten Teil von (4) durch die Zahl 295 ersetzen.


    Also gilt: BE = 295 + 63 = 358 :)

  • Das ist genial!

    Ich habe an dieser Stelle die quadratische Gleichung (mit TR) gelöst und dann damit versucht, weiter zu rechen. :(

    Naja, am Ende hat das Ergebnis auch irgendwie gepasst...