15: Summe und Produkt / Sum and Product

  • Folgender kommentierter Matlab-Code löst die Aufgabe. Alle Rechnungen sind auch per Hand möglich, aber Aussage 2 für alle Produkte auszuwerten, war mir zu aufwendig.


    Im Nachhinein habe ich dann noch gesehen, dass Aussage 1 noch mehr einschränkt, denn auch die 29 ist zB in 23*6 zerlegbar, was zwar keine zwei Primzahlen sind, aber trotzdem eine eindeutige Zerlegung, da S<=47 sein muss. Ähnliches gilt für alle größeren möglichen Summen und damit bleibt das Prüfen von 11, 17, 23 und 27 übrig, was in der Tat per Hand gut möglich gewesen wäre.

  • (...)

    Im Nachhinein habe ich dann noch gesehen, dass Aussage 1 noch mehr einschränkt, denn auch die 29 ist zB in 23*6 zerlegbar, was zwar keine zwei Primzahlen sind, aber trotzdem eine eindeutige Zerlegung, da S<=47 sein muss. Ähnliches gilt für alle größeren möglichen Summen und damit bleibt das Prüfen von 11, 17, 23 und 27 übrig, was in der Tat per Hand gut möglich gewesen wäre.

    Genau! Die Bedingung "Nicht Summe zweier Primzahlen" finde ich nicht intutiv, sondern zu schwach.

    Meine Formulierung ist: "Zu Summos Summe S passen NUR Produkte P, die nicht von vorneherein eindeutig zerlegbar sind."

    Durch diese Bedingung scheiden alle Summen S>=25 aus, weil sich diese mit y=23 oder x=23 zerlegen lassen und jedes Produkt mit 23 im Lösungsraum eindeutig zerlegbar ist (wegen seiner Größenbeschränkung), nicht nur die Primzahlprodukte.

  • Genau! Die Bedingung "Nicht Summe zweier Primzahlen" finde ich nicht intutiv, sondern zu schwach.

    Meine Formulierung ist: "Zu Summos Summe S passen NUR Produkte P, die nicht von vorneherein eindeutig zerlegbar sind."

    Durch diese Bedingung scheiden alle Summen S>=25 aus, weil sich diese mit y=23 oder x=23 zerlegen lassen und jedes Produkt mit 23 im Lösungsraum eindeutig zerlegbar ist (wegen seiner Größenbeschränkung), nicht nur die Primzahlprodukte.

    Danke - guter Hinweis, dies schränkt die Anzahl möglicher Summen deutlich ein: Ich ging von 9 möglichen Summen aus, wegen S<=47 fallen aber tatsächlich 6 davon weg, übrig bleiben nur 11,17 und 23. Die letzten beiden weisen aus der Sicht von Summo mindestens zwei Uneineindeutigkeiten auf, 11 jedoch eine eindeutige Uneindeutigkeit. Fertig (siehe weiter unten)!
    Natürlich könnte man auch direkt nach dem ersten Check, dass S=11 sein muss aufhören (eindeutige Uneindeutigkeit), in der Annahme, dass Wöginger und Co die Aufgabe korrekt gestellt haben (die Aufgabe eine eindeutige Lösung hat) und könnte sich die Überprüfung der anderen Summen sparen, dann wäre es auch egal, ob man 2 oder 8 weitere mögliche S checken muss. Wäre aber unschön;)


    Hier noch einmal die Lösung korrigiert und ausführlich dargestellt:

    https://www.dropbox.com/s/011c…5_Summo_Prodo_II.JPG?dl=0


    Eine Frage an den AltenHeinz: Seit Anbeginn meiner erste Teilnahme am Kalender (inzwischen schon die zehnte Runde non stop, macht immer noch total Spaß!!) sehe ich deinen Spielernamen im Forum. Wie lange bist du schon dabei? Ackerdemiker, qwert123 usw. ebenfalls, Cyrix hat sich ja als Aufgabensteller zurückgezogen...
    Grüße aus dem Südschwarzwald...

  • Mir hat hier die Goldbach Vermutung den Lösungsweg etwas abgekürzt.


    Wann kann sich Summo sicher sein, dass Prodo die Summe nicht bestimmen kann?


    Wenn bei der Summe, die Summo ja sieht keine Zerlegung in x und y ein Produkt liefert, auf grund dessen Prodo sofort beide Zahlen und damit die Summe kennen würde.

    Beispiel:

    Die Summe wäre 12, die Zerlegungen sind dann: 2 + 10 ; 3 + 9 ; 4 + 8 ; 5 + 7 ; 6 + 6

    Die Produkte wären dann: 12 27 32 35 36

    Wenn aber das Produkt 35 wäre, dann wüsste Prodo, dass es 5 mal 7 ist (denn 1 mal 35 geht ja nicht).


    Jetzt ist sich aber Summo sicher, dass Prodo es nicht kann, also darf eine Zerlegung der Summe in zwei Primzahlen nicht vorkommen.

    Jetzt kürzt die "Goldbach Vermutung", das ganze deutlich ab. Jede gerade Zahl >= 4 lässt sich immer als Summe zweier Primzahlen schreiben. Diese Summen sind also tabu.

    Von den ungeraden fallen auch noch viele weg (da ja 2 eine Primzalh ist), nämlich:

    5 = 2 + 3 ; 7 = 2 + 5 ; 9 = 2 + 7 ; 13 = 2 + 11 ; 15 = 2 + 13 ; 19 = 2 + 17 ; 21 = 2 + 19

    25 = 2 + 23 ; 31 = 2 + 29 ; 33 = 2 + 31 ; 39 = 2 + 37 ; 43 = 2 + 41 ; 45 = 2 + 43

    Außerdem fallen noch weg: 27 = 4 + 23 denn 4 * 23 = 92 wäre auch eindeutig für Prodo, da 2 * 46 nicht geht (Summe zu groß)

    Analog entfallen: 29 = 6 + 23 ; 35 = 6 + 29 ; 37 = 6 + 31 ; 41 = 4 + 37 ; 47 = 4 + 43

    Es bleiben nur 3 Möglichkeiten übrig, die jetzt noch für Prodo in Frage kommen:


    11 = 2 + 9 ; 3 + 8 ; 4 + 7 ; 5 + 6

    18 24 28 30


    17 = 2 + 15 ; 3 + 14 ; 4 + 13 ; 5 + 12 ; 6 + 11 ; 7 + 10 ; 8 + 9

    30 42 52 60 66 70 72


    23 =2 + 21 ; 3 + 20 ; 4 + 19 ; 5 + 18 ; 6 + 17 ; 7 + 16 ; 8 + 15 ; 9 + 14 ; 10 + 13 ; 11 + 12

    42 60 76 90 102 112 120 126 130 132


    Zwar hat Prodo das obige gerade gelernt, aber kann immer noch nicht sagen was die Summe ist.

    Das muss daran liegen, dass das Produkt, dass Prodo sieht noch nicht eindeutig zur Summe führt.

    Daher füge ich die Produkte oben rot ein.

    Wäre jetzt z.B. das Produkt 24, dann wüsste Prodo die Summe.

    Also kommen als Produkte auf Prodos Zettel nur die Zahlen vor, die mindestens zweimal rot auftreten.

    Somit weiß Summo, es kann nur noch das Produkt: 30 (bei 11 und 17) oder 42 (bei 17 und 23) ;)

    oder 60 (bei 17 und 23) sein.

    Wären es nun aber 17 oder 23, dann hätte Summo noch zwei Möglichkeiten zur Auswahl. Da er jetzt die Summe (bzw. x und y) kennt, muss es die 11 sein.



  • Eine Frage an den AltenHeinz: (...) Wie lange bist du schon dabei?

    Das ist aber eine nette Frage, danke! 8) Mindestens seit 2007, wahrscheinlich mit Unterbrechungen. Ja, das ist mir auch schon aufgefallen, dass ich Dich und Andere hier als selbstverständliche Weggefährten kenne. Ich finde es wirklich sehr nett, dass Du mich so wahrnimmst, denn sooo viele Kommentare gebe ich doch gar nicht ab? Ich wünsche Dir ein gutes Jahr 2019 und vielleicht diskutieren wir bald noch ein paar andere Lösungen? Grüße aus Nürnberg! :thumbsup:

  • Ich habe die Lösung auch ohne die Goldbach'sche Vermutung gefunden - dauerte etwas länger, ging mit der Hand aber noch ganz gut.


    Dummerweise habe ich beim Checken der 11 erst gar keine Möglichkeit gesehen, so dass ich die anderen Zahlen noch durchgerechnet habe. Also mir dann auffiel, dass es überall mehr als eine Möglichkeit gab, habe ich mir die 11 nochmal angeschaut - egal, am Ende überwiegt der Stolz!!!


    pierrot, ich finde deine Lösungen immer sehr schön und verständlich aufgeschrieben, das würde ich so nicht hinbekommen!


    ps: Ja, ich bin vor etwa 5 oder 6 Jahren auf den Adventskalender gestoßen, nachdem ich mit einem meiner Kinder in der Grundschule mal Mathe-im-Advent gemacht habe.

    Seitdem bin ich Wiederholungstäter und mit Begeisterung dabei . Meine 15-jährige Tochter (10. Klasse) habe ich auch angesteckt - allein würde sie die Aufgaben allerdings noch nicht lösen.
    Und das Forum habe ich anfangs gar nicht beachtet - mittlerweile ist es ebenso schön, wie der eigentliche Kalender, da man dort immer wieder "alte Bekannte" trifft... :)

  • Cyrix hat sich ja als Aufgabensteller zurückgezogen...

    Nun, irgendwann hat man auch im Dezember mehr zu tun. (Insbesondere, wenn die Uni auf die interessante Idee kommt, das Semester so weit vorzuziehen, dass noch in der letzten Woche vor Weihnachten die Klausuren geschrieben und auch korrigiert werden. o.O ;) )


    Viele Grüße

    Cyrix