07: Kaninchen / Rabbits

  • Zunächst hier die langweilige Variante:


    Alexa, ähh Wolfram, wie lautet die Lösung von a+b+c+d=28; e+f+g=28; b*e=28; a*f=70; a*g=14; c*f=35; d*g=21; d*e=x ?

    https://www.wolframalpha.com/i…f%3D35;+d*g%3D21;+d*e%3Dx

    Antwort:

    a≈3.17157, b≈18.4853, c≈1.58579, d≈4.75736, e≈1.51472, f≈22.0711, g≈4.41421, x≈7.20606


    Damit verpasst man jedoch das unfassbar schöne Zwischenergebnis der Handrechnung mit Stift und Papier: x/42 + 42/x = 6

    --
    Frank


    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

  • Diese Aufgabe lässt sich tatsächlich mit reiner Schulmathematik berechnen. Ich benenne die Seitenlängen horizontal von rechts nach links mit a,b,c,d und die vertikalen von unten nach oben e,f,g. Bekannte Gleichungen sind also jeweils die Summe=28 und einige Produkte. Das könnte man alles in einen Solver eingeben, wäre aber langweilig.

    Stattdessen kann man sich zunächst einige Verhältnisse bestimmen: Da ae=14 und af=70, muss f:e = 5:1 sein. Daraus folgt für die Fläche unter der 35, dass sie c*e = c*f / (f/e) = 35/5 = 7 ist. Umgekehrt ist die Fläche d*f = 105. Damit kann man analog die Verhältnisse a:c:d=2:1:3 bestimmen.

    An dieser Stelle endet der etwas trockene Teil, und man muss ein bisschen nachdenken, um darauf zu kommen, wie man b*g = 28 (I) nutzen kann. Dazu betrachte ich die Fläche, die sich ergibt, wenn man die Zeile von g und die Spalte von b beide streicht. Es folgt die Formel (28-b)*(28-g) = 70+14+35+7+105+21 = 252 (II). Beide Formeln ineinander eingesetzt ergibt sich eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen.

    Fall 1) b = 10-6*sqrt(2), g = 10+6*sqrt(2)

    Aus den Verhältnissen von oben folgt a+c+d = 2*d = 28-b und damit d = 9+3*sqrt(2). F wäre dann F = d*g = 42*(3+2*sqrt(2)) *hier Blitz einfügen für Widerspruch, da F kleiner als 100 sein muss*

    Fall 2) b und g vertauscht, d ist analog 9-3*sqrt(2) und F = 42*(3-2*sqrt(2)) ist ungefähr 7.


    3 Dinge sind an dieser Aufgabe schön:

    Erstens, es sind nur ganze Vielfache von 7 gegeben und die Lösungsmöglichkeiten sind ebenso aufgebaut, trotzdem erhält man irrationale Zahlen im Laufe der Rechnung, was für mich überraschend war.

    Zweitens, die Information, dass F<100 ist, scheint zunächst überflüssig, hilft einem dann aber an der entscheidenden Stelle. Drittens, und deswegen habe ich F extra so aufgeschrieben, es kommt 42 vor :)

  • Ich bin zunächst mal ähnlich wie bei einem "Sudoku" vorgegangen, und habe die Flächeninhalte der Teilflächen bestimmt, die aus den gegebenen Teilflächen leicht (über die Verhältnisse) im Kopf berechenbar sind (hier rot eingetragen):

    2*A_1 28 A_1 F=3*A_1
    70 5*A_2 35 105
    14 A_2 7 21

    Jetzt kann man noch zwei Flächeninhalte frei wählen, damit ich keine Brüche erhalte habe ich die kleinste Fläche jeweils mit A_1 bzw. A_2 bezeichnet.

    Es muss gelten: 280 + 6*A_1 + 6*A_2 = 28² = 784 ==> A_1 + A_2 = 84 (1)

    Zudem muss gelten: 2*A_1: 28 = 14: A_2 ==> A_1*A_2 = 196 (2)

    Setzt man (1) in (2) ein, dann erhält man die quadratische Gleichung: A_1² - 84*_1 + 196 = 0

    Diese Gleichung hat die beiden (sehr schönen) Lösungen: A_1_I = 42 + 28*Wurzel(2) und A_1_II = 42 - 28*Wurzel(2). ;)

    Somit gilt F = 3*A_1 = 126 + 84*Wurzel(2) > 100

    bzw. F = 126 - 84*Wurzel(2) = 7,206....

    Wenn man als Variablen also nicht die Seitenlängen einführt, sondern nur mit den Flächeninhalten arbeitet, braucht man weder Wolfram (noch Alexa) zu fragen, sondern kommt mit Mittelstufenmathematik sehr schnell zum Ziel. :)