08: Harmonie pur / Straight Harmony

  • Antwort 7 ist geometrisch als richtige Antwort nachweisbar, aber rechnen geht auch...


    "Lina ist das alles zu kompliziert. Sie möchte die Parallele zu den Grundseiten durch den Diagonalenschnittpunkt des Trapezes als Trennungsbalken benutzen."

    Ich gehe mal davon aus, dass c <= a, wie in der Skizze zur Aufgabe.


    Dann ist durch die Konstruktion mit Diagonalenschnittpunkt


    m = c + c/(a+c) * (a-c) // Die Länge von c plus den Anteil c/(a+c) von der Differenz a-c.


    = c(a+c)/(a+c) + c(a-c)/(a+c) = 2ac/(a+c) = 2/((a+c)/ac) = 2 / (1/a+1/c) = 2 / ( a-1 + c-1) ( = harmonisches Mittel )

  • Ich habe das harmonische Mittel mithilfe zweier zentrischer Streckungen nachgewiesen:

    Einmal ist das Streckzentrum der Diagonalenschnittpunkt S und man verwendet den 2.Strahlensatz: x : y = c : a (1)

    (x und y sind die Abschnitte auf einer der Diagonalen).

    Dann ist das Steckzentrum der Punkt B und man erhält erneut mit dem 2.Strahlensatz: 0,5*m : c = y : (x + y). (2)

    Somit folgt aus (2): 0,5*m = (y : (x+y))*c

    Löst man (1) nach x auf und setzt in (2) ein, dann gilt: x = (c:a)*y und 0,5*m = (y:[(c:a)*y+y])*c = [1:((c:a)+1)]*c = [a:(a+c)]*c

    Somit gilt: m = 2a*c:(a+c) = 2: (a^-1 + c^-1).

    Also erneut genügt relativ einfache Mittelstufenmathematik um ans Ziel zu gelangen. :)