11: Aufregung am Zuckerhut / Kerfuffle at Sugerloaf Mountain

  • Lösungsidee: Mantelfläche in die Ebene abrollen und dort den kürzesten Weg berechnen.


    Skizze


    Die Mantelfläche ist ein Kreissektor mit der Mantellinie des Zuckerhuts s = 60 km als Radius. Der Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors wird durch das Verhältnis des Umfangs der Grundfläche des Zuckerhuts zum Umfang des Kreises mit dem Radius der Mantellinie definiert:

    α = 2 * π * 20 km / (2 * π * 60 km) * 360° = 1/3 * 360° = 120°

    Nun kann man das Bonbontal und die Weingummihöhe an den beiden begrenzden Kreisradien eintragen. Eine Umrundung des Zuckerhuts ist dann einfach die Länge der Strecke zwischen Bonbontal und Weingummihöhe quer durch den Kreissektor.

    Seien die Korrdinaten der Punkte:


    G = (0; 60)

    B = (-60 * sin(60°); 60 - 60 * cos(60°)) = (-30 * sqrt(3); 30)

    W = (50 * sin(60°), 60 - 50 * cos(60°)) = (25 * sqrt(3); 35)

    Damit ergibt sich ein Weg "x" als Entfernung BW: x = sqrt((25 * sqrt(3) + 30 * sqrt(3))² + (35 - 30)²) = sqrt((55 * sqrt(3))² + 5²) = sqrt(9100)
    x = 95,39 km

    Der höchste Punkt der Strecke ist dort erreicht, wo die Entfernung zum Gipfel am kleinsten ist. Das ist am Lotfußpunkt H des Lots von G auf die Strecke BW der Fall. Bis dorthin nimmt von B aus die Entfernung zum Gipfel stetig ab (ansteigend), ab dort nimmt bis W die Entfernung vom Gipfel wiederum stetig zu (abfallend).

    Geradengleichung BW aufstellen:

    y = mx + c

    m = (35 - 30) / (25 * sqrt(3) + 30 * sqrt(3)) = 5 / (55 * sqrt(3)) = 1 / (11 * sqrt(3))
    Einsetzen von W: c = y - mx = 35 - 1 / (11 * sqrt(3)) * 25 * sqrt(3) = 35 - 25/11 = 360/11


    y = 1 / (11 * sqrt(3)) * x + 360/11

    Geradengleichung GH aufstellen, die senkrecht auf BW steht:

    y = -1/m * x + d = -11 * sqrt(3) * x + d
    Einsetzen von G: d = y + 11 * sqrt(3) * x = 60


    y = -11 * sqrt(3) * x + 60

    Gleichsetzen der beiden Geraden, um H zu ermitteln:


    1/(11 * sqrt(3)) * x + 360/11 = -11 * sqrt(3) * x + 60

    (11 * sqrt(3) + 1 / (11 * sqrt(3))) * x = 60 - 360/11

    (121 * 3 + 1) / (11 * sqrt(3)) * x = 300/11
    364 * x = 300 * sqrt(3)
    x = 75/91 * sqrt(3)
    Einsetzen von x in BW: y = 1 / (11 * sqrt(3)) * 75/91 * sqrt(3) + 360/11
    y = 75/1001 + 360/11 = (75 + 32760) / 1001 = 32835/1001 = 2985/91

    H = (75/91 * sqrt(3), 2985/91)

    Entfernung HW als Wert "y" berechnen:


    y = sqrt((25 * sqrt(3) - 75/91 * sqrt(3))² + (35 - 2985/91)²) = sqrt(3 * (25 - 75/91)² + 200²/91²) = sqrt(3 * 2200²/91² + 200²/91²) = sqrt(3 * 11² * 200²/91² + 200²/91²) = 200/91 * sqrt(3 * 121 + 1) = 200/91 * sqrt(4 * 91) = 400/91 * sqrt(91)
    y = 41,93 km

  • Ich habe hier mithilfe des Cosinussatzes und des Sinussatzes und Mittelstufentrigonometrie eine relativ kurzen Weg gewählt.

    Nach dem Abrollen in die Ebene, entsteht ein Dreieck mit den Seitenlängen 50 und 60, sowie dem eingeschlossenen Winkel von 120°.

    Die zurückgelegte Strecke d ist die Länge der längsten Seite in diesem Dreieck (diese Seite liegt dem größten Winkel, also 120°, gegenüber.

    Mithilfe des Cosinussatzes folgt: d² = 60² + 50² - 2*50*60*cos(120°) = 3600 + 2500 - 6000*(-0,5) = 9100

    Also beträgt die zurückgelegte Strecke d = Wurzel(9100) = 10*Wurzel(91) = 95,39...

    Das Lot h vom Scheitelpunkt S des 120° Winkels trifft die Seite d, im höchsten Punkt der Bahn. Wenn Alpha der Winkel bei Weingummihöhe (natürlich im abgerollten Dreieck) ist, dann gilt für die Strecke a, die bergab führt:

    a = 50*cos(Alpha)

    Den Winkel Alpha berechnet man mit Hilfe des Sinussatzes im großen Dreieck.

    Es gilt: sin(Alpha) : sin(120°) = 60 : d ==> sin(Alpha) = (60:10*Wurzel(91))*sin(120°) = (6: Wurzel(91))*0,5*Wurzel(3)

    Also sin(Alpha) = 3*Wurzel(3):Wurzel(91)

    Mit cos²(Alpha) = 1- sin²(Alpha) folgt: cos(Alpha) = 8:Wurzel(91)

    Also gilt: a = 50*8:Wurzel(91) = 400:Wurzel(91) = 41,93.....