13: Die Schatzinsel / Treasure Island

  • Hier meine Version für die Geometriesoftware DynaGeo (deren Erstellung mir mindestens so viel Freude gemacht hat wie eine Arbeit mit Stift und Papier):

    https://www.dropbox.com/s/jckectr2111i5xf/2018_13.geo?dl=0


    Man kann die Eckpunkte der 3 großen Dreiecke (blau, grün und rot) auf dem Kreis verschieben und sehen wo dann die Höhenschnittpunkte sowie der Schwerpunkt zum Dreieck der Höhenschnittpunkte zu liegen kommen.

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    Frank


    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

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  • Ich habs so gemacht: Egal welche 3 Palmen man nimmt, der Mittelpunkt der Insel ist der Umkreisradius des entstehenden Dreiecks. Wenn man diesen Umkreismittelpunkt als Koordinatenursprung nimmt, dann ist der Höhenschnittpunkt an der Summe der 3 Palmen. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist ganz einfach der normale Durchschnitt der 3 Punkte. Der Schwerpunkt der Höhenschnittpunkte ist dann also die Summe der 9 Palmen, geteilt durch 3.

  • Uff, wie kommt man denn als normalsteblicher Mathe-Interessierter auf so eine Lösung... Zauberei?

    Erstmal stundenlang ein Computer-Programm schreiben, das alle Dreiecke durchprobiert und am Ende nur einen möglichen Punkt ausgibt, dann sich fragen "Warum ist das so?", in die Formel für die Höhenschnittpunkte die das Programm benutzte per Hand allgemeine Koordinaten (cos(phi_i), sin(phi_i)), i=1,2,3 einsetzen, nach vielen Umformungen mit WolframAlpha sehen, dass ganz am Ende sum_(i=1)^3 (cos(phi_i), sin(phi_i)) rauskommt, sich fragen "Höh, warum ist das jetzt so?", verzweifelt "Höhenschnittpunkt" googlen, ein obiger Skizze nicht unähnliches Bild sehen, kurz darüber nachdenken und erkennen "Aaaaah, so einfach hätte das sein können".
    Und deshalb mochte ich diese Aufgabe.

  • Ich habs so gemacht: Egal welche 3 Palmen man nimmt, der Mittelpunkt der Insel ist der Umkreisradius des entstehenden Dreiecks. Wenn man diesen Umkreismittelpunkt als Koordinatenursprung nimmt, dann ist der Höhenschnittpunkt an der Summe der 3 Palmen. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist ganz einfach der normale Durchschnitt der 3 Punkte. Der Schwerpunkt der Höhenschnittpunkte ist dann also die Summe der 9 Palmen, geteilt durch 3.

    Kompliment, wirklich schöne Lösung! Dass der Höhenschnittpunkt gerade der Umkreismittelpunkt des verdoppelten und gedrehten Dreiecks ist, war mir nicht geläufig. Tolle Sache.

  • Mein Ansatz: In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt genau auf dem Eckpunkt mit dem rechten Winkel. In einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt innerhalb des Dreiecks, bei einem stumpfen Winkel dagegen außerhalb (das kann man auch auf Wikipedia nachlesen, wenn man so wie ich 25 Jahre nach dem Abi die Definition des Höhenschnittpunkts gerade nicht mehr auf Anhieb parat hat). Außerdem kann man aus dem Thaleskreis ableiten, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck zwischen den Palmen die Hypothenuse durch den Kreismittelpunkt, also den Mittelpunkt der Insel gehen muss. Damit fallen schon mal alle Palmenkombinationen weg, bei denen sich zwei Palmen genau gegenüber stehen (also z.B. in N und S, oder in NNO und SSW). Damit das durch drei Palmen aufgespannte Dreieck spitzwinklig wird, muss der Inselmittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegen (kann man sich auch aus der Überlegung mit dem Thaleskreis ableiten).

    Wenn man sich die Positionen der Palmen im Kreis dann skizziert, kann man sehen, dass mit obiger Überlegung für die Palme im Westen nur die Palme im Süden und eine der beiden Palmen in NNO und NO infrage kommen. Wenn man hiervon die Palme in NO auswählt, schafft man es nicht mehr, zwei weitere spitzwinklige Dreiecke zu bilden (für die Palme in NNO kommen dann nur noch O und WSW infrage, und die verbleibenden Palmen bilden ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel), also muss eines der Dreiecke zwischen den Palmen in S, W und NNO gebildet werden. Mit analogen Überlegungen kommen dann als weitere Dreiecke nur N-O-WSW und NO-SSW-WNW infrage, d.h. es gibt nur eine Zuordnung der Palmen, bei denen alle Höhenschnittpunkte innerhalb der Insel liegen.

  • Dass der Höhenschnittpunkt gerade der Umkreismittelpunkt des verdoppelten und gedrehten Dreiecks ist, war mir nicht geläufig.

    Ich glaub, das hast du falsch verstanden - wenn der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks der Koordinatenursprung ist, dann ist die Summe der Vektoren zu den Ecken des Dreiecks der Vektor zum Höhenschnittpunkt. Verdoppelt und gedreht wird da nichts^^

  • Dass der Höhenschnittpunkt der Umkreismittelpunkt des verdoppelten und gedrehten Dreiecks ist (weil die Mittelsenkrechten des größeren Dreiecks genau die Höhen des kleineren Dreiecks ist), ist eine mögliche Herleitung dafür, dass die Summe der Vektoren zu den Ecken der Vektor zum Höhenschnittpunkt ist. Wie hast du das denn stattdessen hergeleitet?

  • Mein Ansatz: ... d.h. es gibt nur eine Zuordnung der Palmen, bei denen alle Höhenschnittpunkte innerhalb der Insel liegen.

    Ich habe drei mögliche Zuordnungen gefunden, die für mich sehr überraschend alle auf den gleichen Punkt zeigten:

    N O WSW / NON S WNW / NO SWS W
    N O WSW / NON S W / NO SWS WNW
    N NO SWS / NON S W / O WSW WNW

    Bild: https://www.dropbox.com/s/vtds9n7w2qlvx5l/2018-13.png?dl=0

    --
    Frank


    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

  • Zuerst nehme ich oBdA an, dass der Mittelpunkt der Insel (0,0) ist und der Radius R. Die Winkel der Polarkoordinaten dreier Palmen A,B,C seien a, b und c. Man kann mittels elementarer Geometrie zeigen, dass die Steigung der Höhenlinie durch C tan((a+b)/2) ist. Die vollständige Geradengleichung ist demnach in karthesischen Koordinaten y = R*sin(c)+(x-R*cos(c))* tan((a+b)/2). Stellt man dies für eine weitere Höhenlinie auf, setzt beide gleich, und fragt WolframAlpha nach einer Vereinfachung des Ergebnisses, kommt die wunderschöne Gleichung für die Koordinaten des Höhenschnittpunkts H heraus: x(H) = R*(cos(a)+cos(b)+cos(c)) und y(H) = R*(sin(a)+sin(b)+sin(c)).

    Diese Gleichung kann ich leider nicht anschaulich beweisen, aber sie sagt viel mehr, als hier steht. Nämlich muss für jedes Dreieck mit Ortsvektoren A B und C der Eckpunkte, M Umkreismittelpunkt und H Höhenschnittpunkt gelten: H = A+B+C-2M – warum auch immer, hat jemand dafür einen schönen Beweis?

    Auf diese Aufgabe bezogen gilt jedenfalls, dass der Schwerpunkt dreier Punkte (H1 H2 H3) bei (H1 + H2 +H3)/3 liegt, also insgesamt bei (A+B+C+D+E+F+G+H+I)/3, völlig unabhängig davon, welche Palmen jetzt welche sind, und auch unabhängig davon, ob irgendwelche Höhenschnittpunkte auf dem Rand der Insel oder gar außerhalb liegen. Also ist nur 1 Ort möglich. Dass dieser auch auf der Insel liegt und es auch mindestens ein (exakt 3) Tripel von Dreiecken gibt, die die anderen Bedingungen erfüllen, ist schnell experimentell herausgefunden.

    Auch hierfür habe ich eine Brute-Force-Variante mal in Matlab durchrechnen lassen:


    Diese ergibt zwar einige unterschiedliche centroids, aber das sind nur numerische Abweichungen – ein guter Grund, sich nicht blind auf den PC zu verlassen. Benötigt wird ebenfalls die Funktion orthocenter:

  • Es tut mir leid, aber auch mit Euren Skizzen und Beweisen, bin ich immer noch der Meinung, dass die Aufgabenlösung fehlerhaft ist. Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

    Gefragt war der Schwerpunkt des Dreiecks, dass aus den Höhenschnittpunkten der Dreiecke entsteht, die durch erlaubte Gruppierung der Palmen entstehen.

    Da recht- und stumpfwinklige Dreiecke ausscheiden, da ihr Höhenschnittpunkt entweder mit einer Palme zusammenfällt oder außerhalb der Insel liegt, kann man schnell zeigen, dass es genau drei erlaubte Gruppierungen gibt. Jede der drei erlaubten Gruppierungen der Palmen ergibt für sich drei unterschiedliche (wenn auch teilweise kongruente) Dreiecke. Insgesamt also 9 Dreiecke, die sich aus 3 unterschiedlichen erlaubten Gruppierungen der Palmen ergeben.

    Es stimmt, dass sich für alle 9 Dreiecke der Höhenschnittpunkt aus der vektoriellen Addition der Vektoren vom Mittelpunkt der Insel zu den Eckpunkten ergibt.

    Dies tut aber für die Lösung überhaupt nichts zur Sache, oder liege ich da falsch?

    Vielmehr ist doch zu beweisen, dass für jede der drei erlaubten Gruppierungen der Palmen sich das aus den Höhenschnittpunkten der 3 Palmen-Dreiecke einer Gruppierung ergebende Dreieck entweder den gleichen Schwerpunkt hat wie für die anderen beiden Gruppierungen (Lösung: 1Punkt), oder nicht den gleichen Schwerpunkt hat (Lösung: 3 Punkte).


    Da das Finden der drei erlaubten Gruppierungen der Palmen nicht allzu schwer ist, habe ich versucht die Lösung einfach zeichnerisch zu lösen und komme auf unterschiedliche Schwerpunkte -> 3 Punkte kommen als Schatzversteck in Frage.

    Ich bin sehr gespannt auf die Lösung und auf meinem Fehler.....

  • Ganz egal, wie du die Palmen aufteilst, der Schwerpunkt des aus den Höhenschnittpunkten entstehenden Dreiecks ist immer gleich. Da ist auch egal, ob die Höhenschwerpunkte tatsächlich auf der Insel liegen. Wenn du da je nach Aufteilung andere Orte rausbekommst, hast du bei deiner Zeichnung irgendwo einen Fehler gemacht.

  • Es stimmt, dass sich für alle 9 Dreiecke der Höhenschnittpunkt aus der vektoriellen Addition der Vektoren vom Mittelpunkt der Insel zu den Eckpunkten ergibt.

    Dies tut aber für die Lösung überhaupt nichts zur Sache, oder liege ich da falsch?

    Das tut etwas zur Sache, da der Schwerpunkt dann der Mittelwert aus den Höhenschnittpunkten ist, welche die Summe der Eckpunkte sind. Deshalb muss bei allen drei Gruppierungen der gleiche Schwerpunkt rauskommen. frank.buchholz hat auch Zeichnungen von drei Gruppierungen gepostet, die alle drei denselben Punkt liefern. Wie sehen denn deine Zeichnungen aus?

  • Mal ein bisschen was zu den m.E. hier fehlenden Begründungen:


    *) Nach dem Satz zur Euler-Gerade liegen in jedem Dreieck Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt auf einer Geraden -- der Euler-Geraden -- , wobei der Schwerpunkt zwischen Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt liegt und diese Strecke im Verhältnis 1:2 teilt, sodass man den Höhenschnittpunkt durch eine zentrische Streckung am Umkreismittelpunkt mit dem Faktor 3 erhält.

    *) Identifiziert man die einzelnen Punkte in der Ebene mit Koordinatenpaaren (bzw. äquivalent mit komplexen Zahlen) und setzt dabei den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks als Koordinatenursprung (bzw. 0) fest, so ergibt sich also, dass man den Höhenschnittpunkt dieses Dreiecks aus dem Schwerpunkt dieses Dreiecks durch Multiplikation mit 3 erhält. Da der Schwerpunkt eines jeden Polyeders (also insbesondere auch Dreiecks) sich aus dem arithmetischen Mittel seiner Eckpunkte ergibt, erhalten wir hie, dass sich der Höhenschnittpunkt des Dreiecks aus der Summe (der Koordinaten) seiner drei Eckpunkte ergibt.

    *) Da alle aus den Punkten auf der Peripherie der Insel gebildeten Dreiecke den gleichen Umkreismittelpunkt (nämlich den Mittelpunkt der Insel) besitzen, kann man diese Festlegung des Koordinatenursprungs auch global, d.h. unabhängig vom konkret betrachteten Dreieck, durchführen.

    *) Der Schwerpunkt des entstehenden Höhenfußpunktdreiecks ist also das arithmetische Mittel der drei entstehenden Höhenfußpunkte und nach der vorherigen Überlegung also 1/3 * der Summe aller beteiligten Punkte. Da jeder Punkt genau einmal ausgewählt wurde, ist -- unabhängig von der Zuordnung der Punkte auf die drei Dreiecke -- diese Summe immer identisch die Summe aller 9 Punkte, sodass der Schatz immer an der gleichen Stelle zu finden ist.



    Zusatzbemerkung: Über das Seitenmittendreieck (bzw. ein umschriebenes Dreieck, sodass das eigentlich betrachtete dann das Seitenmittendreieck des neuen ist) muss man hier gar nicht gehen. Aber als interessante Zusatzinformation habe ich das mal angehängt:

    Unter dem Seitenmittendreieck eines Dreiecks versteht man das Dreieck, was entsteht, wenn man die Mittelpunkte seiner drei Seiten miteinander verbindet. Über das Seitenmittendreieck gibt es ein paar Beobachtungen zu machen:

    *) Aufgrund des Strahlensatzes sind die Seiten des Seitenmittendreiecks parallel zu den Ausgangsseiten.

    *) Aufgrund dieser Parallelität liegen die Höhen des Seitenmittendreiecks auf den Mittelsenkrechten des Ausgangsdreiecks.

    *) Damit fallen der Höhenschnittpunkt des Seitenmittendreiecks und der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks zusammen.

    *) Auch aufgrund der Parallelität der Seiten des Ausgangs- und Seitenmittendreiecks verlaufen auch entsprechende Seitenhalbierende zueinander parallel, liegen also aufeinander (da der Mittelpunkt einer Seite des Ausgangsdreiecks, durch den eine Seitenhalbierende verläuft, ja gleichzeitig identisch ist mit einem Eckpunkt des Seitenmittendreiecks, durch den die dazu parallele Seitenhalbierende im kleineren Dreieck verläuft).

    *) Damit sind insbesondere die Schwerpunkte vom Ausgangs- und Seitenmittendreieck identisch. Tatsächlich erhält man das Ausgangsdreieck aus dem Seitenmittendreieck durch eine zentrische Streckung am gemeinsamen Schwerpunkt mit Streckungsfaktor -2.

    *) Also erhält man auch den Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks dadurch, dass man den Umkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks an dessen Schwerpunkt spiegelt und die Strecke verdoppelt. Damit liegen der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, der identisch ist mit dem Höhenschnittpunkt des Seitenmittendreiecks, der Schwerpunkt des Seitenmittendreiecks und auch dessen Umkreismittelpunkt auf einer Geraden, wobei der Schwerpunkt zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt liegt und diese Strecke 1:2 teilt, was den oben benutzten Satz über die Euler-Gerade beweist.

    Cyrix


    p.s.: Das gerade ich mal mit ein bisschen Elementargeometrie-Kenntnissen aufwarten kann... o.O ;)

  • Das tut etwas zur Sache, da der Schwerpunkt dann der Mittelwert aus den Höhenschnittpunkten ist, welche die Summe der Eckpunkte sind. Deshalb muss bei allen drei Gruppierungen der gleiche Schwerpunkt rauskommen. frank.buchholz hat auch Zeichnungen von drei Gruppierungen gepostet, die alle drei denselben Punkt liefern. Wie sehen denn deine Zeichnungen aus?

    Meine Zeichnungen sehen ziemlich gleich aus, wie die von Frank Buchholz. Warum meine Schwerpunkte nicht identisch sind muss ich noch prüfen (evtl. habe ich tatsächlich statt den Seitenhalbierenden die Mittelsenkrechten genommen um die Schwerpunkte zu konstruieren).


    Die Begründung von Christian Hercher leuchtet auf jeden Fall ein und ist mehr oder weniger ja auch schon von Blackheart geliefert worden, nur dass ich's erst jetzt kapiert habe.

    Es sollte noch erwähnt werden, dass der tatsächliche Schatz-Punkt von der Lage der Palmen abhängt und nicht mit dem Mittelpunkt der Insel identisch ist.

  • Ich bin von der gleichen Grundidee wie Christian Hercher ausgegangen, nämlich von der Lage der "interessanten" Punkte auf der Euler-geraden. Würde man also von den drei Dreiecken nicht deren Höhenschnittpunkte, sondern deren Schwerpunkte wählen, dann wäre klar, dass die "Masse" aller neun Palmen genau einmal berücksichtigt wird. Die genau diametral gegenüberliegenden "Massen" heben sich in ihrer Wirkung gegenseitig auf. Übrig bleiben die Massen WNW, WSW und NO. Der Schwerpunkt dieses Dreiecks hat den gleichen Schwerpunkt wie alle neun Palmen zusammen. Der Schwerpunkt ist also eindeutig.

    Die Höhenschnittpunkte erhält man aus der zentrischen Streckung (siehe Christian Hercher) vom gemeinsamen Umkreismittelpunkt aus. Daher ergeben alle drei möglichen Dreieckskombinationen ein Dreieck (Eckpunkte sind die Höhenschnittpunkte) dessen Schwerpunkt mit dem eindeutigen Schwerpunkt s.o. zusammenfällt.

    Wie bin ich auf die Idee gekommen?

    Da spielte auch ein bisschen der Zufall mit, ich habe am selben Tag mit meinen Schülerinnen und Schülern den Satz vom Umfangswinkel bewiesen und da liegen die Eckpunkte ja auch auf einem Kreis. So war ich schon auf der richtigen Spur.

    Anmerkung: ganz kurz war ich auch versucht wegen der neun Punkte an den Feuerbach- Kreis zu denken, aber den Gedanken hab ich dann, zum Glück, wieder verworfen. :)