13: Die Schatzinsel / Treasure Island

  • Zitat

    Falls sich jemand für die Geogebra-Konstruktion interessiert ... so sieht es aus

    Geogebra hat doch sicher auch eine "verstecken"-Funktion mit der sich uninteressante Hilfslinien und -Punkte verstecken lassen.

    --
    Frank


    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

  • Ich bin von der gleichen Grundidee wie Christian Hercher ausgegangen, nämlich von der Lage der "interessanten" Punkte auf der Euler-geraden. Würde man also von den drei Dreiecken nicht deren Höhenschnittpunkte, sondern deren Schwerpunkte wählen, dann wäre klar, dass die "Masse" aller neun Palmen genau einmal berücksichtigt wird. Die genau diametral gegenüberliegenden "Massen" heben sich in ihrer Wirkung gegenseitig auf. Übrig bleiben die Massen WNW, WSW und NO. Der Schwerpunkt dieses Dreiecks hat den gleichen Schwerpunkt wie alle neun Palmen zusammen. Der Schwerpunkt ist also eindeutig.

    Die Höhenschnittpunkte erhält man aus der zentrischen Streckung (siehe Christian Hercher) vom gemeinsamen Umkreismittelpunkt aus. Daher ergeben alle drei möglichen Dreieckskombinationen ein Dreieck (Eckpunkte sind die Höhenschnittpunkte) dessen Schwerpunkt mit dem eindeutigen Schwerpunkt s.o. zusammenfällt.

    (...)

    Hi MatheJürgen, bin beim Lesen Deiner Argumente zweimal gestolpert! :)

    "Die genau diametral gegenüberliegenden "Massen" heben sich in ihrer Wirkung gegenseitig auf." Du meinst wohl diametral bzgl. der Inselmitte. Glaub ich nicht, nur wenn der Schwerpunkt in der Inselmitte wäre. Dann stimmt auch nicht: "Der Schwerpunkt dieses Dreiecks hat den gleichen Schwerpunkt wie alle neun Palmen zusammen." Letzteres wäre 1/9 der Summe aller 9 Koordinaten, ersteres 1/3 der 3 verbliebenen Koordinaten.

    Es scheint mir aber nach Cyrix' klaren Ausführungen klar zu sein, dass der Schatz nicht am gemeinsamen Schwerpunkt der 9 Palmen liegt, sondern dreimal so weit weg vom Inselmittelpunkt, weil wir nicht den Schwerpunkt der Schwerpunkte, sondern den Schwerpunkt der Höhenschnittpunkte finden sollten, und da kommt eben der Faktor 3 rein, wie Du auch richtig bemerkt hast.

    Nachvollziehbar? Irre ich mich?:/

  • Hi MatheJürgen, bin beim Lesen Deiner Argumente zweimal gestolpert! :)

    "Die genau diametral gegenüberliegenden "Massen" heben sich in ihrer Wirkung gegenseitig auf." Du meinst wohl diametral bzgl. der Inselmitte. Glaub ich nicht, nur wenn der Schwerpunkt in der Inselmitte wäre. Dann stimmt auch nicht: "Der Schwerpunkt dieses Dreiecks hat den gleichen Schwerpunkt wie alle neun Palmen zusammen." Letzteres wäre 1/9 der Summe aller 9 Koordinaten, ersteres 1/3 der 3 verbliebenen Koordinaten.

    Es scheint mir aber nach Cyrix' klaren Ausführungen klar zu sein, dass der Schatz nicht am gemeinsamen Schwerpunkt der 9 Palmen liegt, sondern dreimal so weit weg vom Inselmittelpunkt, weil wir nicht den Schwerpunkt der Schwerpunkte, sondern den Schwerpunkt der Höhenschnittpunkte finden sollten, und da kommt eben der Faktor 3 rein, wie Du auch richtig bemerkt hast.

    Nachvollziehbar? Irre ich mich?:/

    Danke "Alter Heinz", da hast du natürlich recht, da hab ich mich nicht sauber ausgedrückt. Gemeint war, dass die Ortsvektoren dieser beiden Schwerpunkte linear abhängig (Faktor 3) sind. :)

  • Grrrh, auf die Überlegung mit den drei möglichen Kombinationen bin ich auch recht schnell gekommen.

    Nur habe ich den Wikipedia-Artikel über den Schwerpunkt des Dreiecks wohl etwas oberflächlich gelesen, und den Schwerpunkt mit den Winkelhalbierenden statt den Seitenhalbierenden gebildet...

    Damit kommt man dann auf drei verschiedenen Punkte!

    Schade... X(