16: Temperatur / Temperature

  • Eine Lösung, die für 15 Tage funktioniert:


    Tag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    Temperatur ° C
    5 5 -12 5 5 -12 5 5 5 -12 5 5 -12 5 5


    Die Durchschnittstemperatur von 7 aufeinanderfolgenden Tagen beträgt dabei jeweils +1/7° C, von 10 aufeinanderfolgenden Tagen jeweils -1/10° C.


    Beweis, dass es keine Lösung mehr für 16 Tage geben kann:


    Die Durchschnittstemperatur der Tage 8-14 müsste positiv sein (7-Tage-Regel), die Durchschnittstemperatur der Tage 5-14 dagegen negativ (10-Tage-Regel). Da in diesem Abschnitt aber die Tage 8-14 eine positive Durchschnittstemperatur haben, geht das überhaupt nur, wenn die verbleibenden Tage 5-7 eine negative Durchschnittstemperatur hätten.


    Also:

    Tage 8-14 positiv (7 Tage)

    Tage 5-7 negativ (10 Tage 5-14 mit 8-14 positiv)


    Mit der gleichen Logik geht es weiter:

    Tage 2-8 positiv (7 Tage)

    Tage 9-11 negativ (10 Tage 2-11 mit 2-8 positiv)

    Tag 8 positiv (Tage 5-11 positiv, da 7 Tage, aber Tage 5-7 negativ und 9-11 negativ)

    Tage 9-15 positiv (7 Tage)

    Tage 6-8 negativ (10 Tage 6-15 mit 9-15 positiv)

    Tage 3-9 positiv (7 Tage)

    Tage 10-12 negativ (10 Tage 3-12 mit 3-9 positiv)

    Tag 9 positiv (Tage 6-12 positiv, da 7 Tage, aber Tage 6-8 negativ und 10-12 negativ)

    Tage 10-16 positiv (7 Tage)

    Tage 7-9 negativ (10 Tage 7-16 mit 10-16 positiv)

    Tag 7 negativ (Tage 7-9 negativ, aber Tag 8 positiv und Tag 9 positiv)

    Tage 4-10 positiv (7 Tage)

    Tage 1-3 negativ (10 Tage 1-10 mit 4-10 positiv)

    Tage 7-13 positiv (7 Tage)

    Tage 4-6 negativ (10 Tage 4-13 mit 7-13 positiv)


    Widerspruch: Tage 1-7 müssten im Durchschnitt positiv sein (7 Tage), aber Tage 1-3 im Durchschnitt neagtiv, Tage 4-6 im Durchschnitt negativ und Tag 7 negativ.


    Es gibt also keine Lösung für 16 Tage oder mehr.

  • Auch eine schöne Lösung dafür, dass es bei 16 Tagen oder mehr nicht geht: Wenn man die (positiven) 7-er Summen aufsummiert und das gleiche mit den (negativen) 10er-Summen macht, dann müssen beide Gesamtsummen gleich sein, weil bei beiden jede Tagestemperatur gleich oft vorkommt. Die Gesamtsummen müssen also gleichzeitig positiv und negativ sein, was ein Widerspruch wäre.

  • N=15. Das geht zB mit folgenden Temperaturen: 5,5,-12,5,5,-12,5,5,5,-12,5,5,-12,5,5

    16 bekommt man aber nicht hin, und zwar aus folgendem Grund: Wenn man den Mittelwert der ersten 7 Zahlen bildet und dieser größer 0 ist, dann fällt für die Bildung des nächsten Mittelwerts die erste Zahl weg und die achte kommt dazu. Nun ist anschaulich eigentlich klar (ich gebe zu, hier ist mathematisch betrachtet eine Lücke in meinem Beweis, die sich aber denke ich schließen ließe), dass es ideal ist, wenn die Siebener-Mittelwerte immer nur so knapp wie möglich über null sind, also alle gleich, und die Zehner so knapp wie möglich unter null. Wären manche Siebenermittel größer als andere, könnte man vermutlich einige Zahlen darin verkleinern. Daraus folgt aber, dass die achte Zahl der ersten entsprechen muss, die neunte Zahl der zweiten usw. Wegen der Zehnermittel muss wiederum die elfte Zahl der ersten entsprechen, die zwölfte der zweiten usw. Stellt man das für N=16 auf, erhält man, dass alle Zahlen gleich sein müssen, was offensichtlich unmöglich ist. Für N = 15 bekommt man hingegen zwei verschiedene Zahlen, nämlich die Abfolge AACAACAAACAACAA mit den Ungleichungen

    5A + 2C > 0 <=> A>-2C/5 (I)

    7A + 3C < 0 <=> A<-3C/7 (II)

    Aneinandergehängt ergibt sich -2C/5<-3C/7 <=> 14C>15C <=> C<0

    Zwischen den beiden Brüchen mit C muss A liegen, und damit da noch eine ganze Zahl Platz hat, wähle ich C = -12 und damit 4,8<A<5,Periode(142857), also A = 5.


    Nach zwei weiteren Tagen habe ich meine Lücke zwar nicht geschlossen, aber einen anderen Beweis für die Unmöglichkeit von N=16 gefunden. Bezeichne ich alle 16 Temperaturn mit A bis P und die Summe der Temperaturen zwischen zB B und H als (BH), so gilt

    N+O+P = (DJ)-(DM)+(AG)-(AJ)+(HN) + (EK)-(EN)+(BH)-(BK)+(IO) + (FL)-(FO)+(CI)-(CL)+(JP)

    Und das muss >0 sein, da nur Siebenersummen – Zehnersummen gerechnet werden. Allerdings ist

    N+O+P = (GP)-(GN)

    Und das ist aus dem umgekehrten Grund <0.


    Den ersten „Beweis“ habe ich trotzdem stehengelassen, weil ich ihn schön anschaulich finde. Und vielleicht schließt mir ja jemand die Lücke, dann könnte man diese anschauliche Art von Beweis für solche Aufgaben immer verwenden.