Zahlentheorie Aufgaben

  • Hallo!

    Wie wäre es, wenn wir hier ein Zahlentheorie-Forum aufmachen würden. D.h. wir stellen uns gegenseitig Aufgaben. Wer die Lösung zu der vorangegangenen Aufgabe hat, schreibt diese auf und kann die nächste stellen usw.

    Aufgabe 1 schrieb:

    Zeige, dass jede ganze Zahl n>1 die Summe zweier quadratfreier positiver ganzer Zahlen ist. Dabei heißt eine positive ganze Zahl "quadratfrei", wenn sie keinen Primfaktor mehrfach enthält.

  • Ich habe zwar keine Ahnung wie man das beweisen kann (falls die Behauptung wahr ist) finde es jedoch erstaunlich, dass die Zahlen 42 und 273 über die Eigenschaft der Quadratfreiheit bijektiv miteinander verbunden sind.



    P.S. Wie sieht die Zerlegung für 114 aus?

    Schönen Gruß

    Frank

    --

    Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

    Dieser Beitrag wurde bereits 1 Mal editiert, zuletzt von frank.buchholz ()

  • Zahlentheorie finde ich spannend, auch wenn ich mich leider nie systematisch damit beschäftigt habe. Eine Beweisskizze für nick123s Behauptung wäre wie folgt:


  • P.S. Wie sieht die Zerlegung für 114 aus?


    Meine Lieblingsaufgabe in Zahlentheorie (48. MO, 11. Klasse, 3. Stufe, 6. Aufgabe):

    Sei n eine ganze positive Zahl, sodass 2^n und 5^n mit der gleichen Ziffer d im Dezimalsystem beginnen.

    Zeigen Sie: d=3

    Dieser Beitrag wurde bereits 1 Mal editiert, zuletzt von JdPL () aus folgendem Grund: Abbildungen sollten vielleicht eher mit "->" dargestellt werden als mit "=>" :-)

  • aaa

    Meine Lieblingsaufgabe in Zahlentheorie (48. MO, 11. Klasse, 3. Stufe, 6. Aufgabe):

    Sei n eine ganze positive Zahl, sodass 2^n und 5^n mit der gleichen Ziffer d im Dezimalsystem beginnen.

    Zeigen Sie: d=3

    Meine aktive Zeit in den Mathematikolympiaden liegt schon etwas länger zurück ...

  • Zahlentheorie finde ich spannend, auch wenn ich mich leider nie systematisch damit beschäftigt habe. Eine Beweisskizze für nick123s Behauptung wäre wie folgt:


  • Oh Gott, ich Doof! Na klar! Dann geht es doch. Ich glaub, ich bin zu eingerostet für sowas :) Mea culpa.

  • Zeige: Es gibt keine Quadratzahl n² (n aus N) , die bei Division durch 3 den Rest 2 lässt. :)

  • Na schön, ich hab auch eine: Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 3k+2 gibt.