2: Schneeflockengas / Snowflake Gas

  • Hier benötigt man eigentlich kaum Physik, um die Aufgabe zu lösen. Aus p*V = k*N*T folgt sofort, dass T genau dann maximal wird, wenn p*V maximal wird.

    Das Produkt p*V kann man Flächeninhalt eines Rechtecks im p-V- Diagramm interpretieren. Ein Rechteckpunkt P liegt auf der Strecke AE, zwei auf den Achsen und der vierte Eckpunkt ist der Ursprung (0 | 0). Jetzt kann man das Problem im gegebenen Koordinatensystem (auch ohne Einheiten) lösen.

    Die Strecke liegt auf der Geraden zur linearen Funktion f mit f(x) = 6 - (1/3)*x. Sei P( u | f(u) ), dann gilt für den Flächeninhalt des Rechtecks: A(u) = u * f(u)

    Also gilt A(u) = 6u - (1/3)*u²

    Die Zielfunktion hat als Graph eine nach unten geöffnete Parabel (2.Ordnung), deren Scheitel man bestimmt.

    A(u)= (1/3)*u*(18 - u) ==> Nullstellen u_1 = 0 und u_2 = 18 ==> x- wert des Scheitels: x_S = 9.

    f(9) = 3

    Jetzt muss man nur noch herausfinden welcher Druck 3 Einheiten (Kästchen) auf der p- Achse entspricht. Bei 5 Einheiten liegt p_0 = 8 bar.

    Also gilt 3/5 * 8 bar = 4,8 bar.

    Man benötigt eigentlich nur Stoff der Klasse 8 (Scheitelbestimmung einer Parabel). Wer will kann das Maximum natürlich auch durch Ableiten bestimmen. ;)   

  • Man benötigt eigentlich nur Stoff der Klasse 8 (Scheitelbestimmung einer Parabel). Wer will kann das Maximum natürlich auch durch Ableiten bestimmen. ;)   

    Und manche haben vermutlich die Scheitelbestimmung bzw. die quadratische Ergänzung usw. vergessen und können nur noch mit Ableitung das Maximum bestimmen - und behaupten dann, man könnte das mit Mitteln der 10. Klasse nicht unbedingt schaffen.

  • Wenn man absehen kann, dass die Zielfunktion quadratisch sein wird, liegt die Extremstelle zwischen den Nullstellen, die wiederum an den Achsenschnittpunkten liegen. Der maximale Druck ist also die Hälfte des y-Achsenabschnittes.

    Sehr hübsch, dieser Zusammenhang war mir gar nicht aufgefallen!

    Etwas klarer formuliert vielleicht: die Nullstellen der quadratischen Funktion liegen bei Null und bei der Nullstelle der eingezeichneten Geraden.