3: Billardtisch / Billiards Table

Ich komme auf 4, also Lösung 1 und verstehe nicht, was an der Lösung falsch ist.

Franz Auer schrieb:

Ich komme auf 4, also Lösung 1 und verstehe nicht, was an der Lösung falsch ist.

Wenn du für den ersten Einfallswinkel z.B. 5 Grad wählst, geht es mit 5 Bandenberührungen.

Ohne Angabe des Lösungsweges ist es schwierig den Fehler zu finden.

Grundsätzlich lassen sich solche Spiegelungsaufgaben gut mit "Auffalten" lösen, in dem man an jeder Spiegelkante den kompletten Billardtisch spiegelt, und die Kugel im aufgefalteten Problem eine gerade Linie verfolgt (und nicht mehr mitgespiegelt wird). Wenn man hinreichend auffaltet, hat man insgesamt 9 von A ausgehende Strecken und die Frage wird: Wie viele dieser Strecken kann man maximal mit einer Geraden kreuzen.

Und da ist die Antwort dann 5.

Ich kann's jetzt auch nicht mehr so genau sagen, wie mein Lösungsweg war, aber der ideale Verlauf sah bei mir so aus, dass die dritte Bandenberührung exakt senkrecht auf eine der erlaubten Banden erfolgt ist, und die Kugel damit genau den selben Rückweg, wie Hinweg genommen hat (also zwei Berührungen vorher, dann die senkrechte, und zwei nachher)

marac schrieb:

Ich kann's jetzt auch nicht mehr so genau sagen, wie mein Lösungsweg war, aber der ideale Verlauf sah bei mir so aus, dass die dritte Bandenberührung exakt senkrecht auf eine der erlaubten Banden erfolgt ist, und die Kugel damit genau den selben Rückweg, wie Hinweg genommen hat (also zwei Berührungen vorher, dann die senkrechte, und zwei nachher)

Das ist der Fall, wenn der erste Einfallswinkel 10 Grad ist.

JdPL schrieb:

Ohne Angabe des Lösungsweges ist es schwierig den Fehler zu finden.

Grundsätzlich lassen sich solche Spiegelungsaufgaben gut mit "Auffalten" lösen, in dem man an jeder Spiegelkante den kompletten Billardtisch spiegelt, und die Kugel im aufgefalteten Problem eine gerade Linie verfolgt (und nicht mehr mitgespiegelt wird). Wenn man hinreichend auffaltet, hat man insgesamt 9 von A ausgehende Strecken und die Frage wird: Wie viele dieser Strecken kann man maximal mit einer Geraden kreuzen.

Und da ist die Antwort dann 5.

Ah, ich habe meinen Fehler. Ich dachte, weil 5 * 40° > 180° sind, komme ich mit 5 Dreiecken aus. Und die berühren sich nur an 4 Kanten.

Franz Auer schrieb:

Ah, ich habe meinen Fehler. Ich dachte, weil 5 * 40° > 180° sind, komme ich mit 5 Dreiecken aus. Und die berühren sich nur an 4 Kanten.

Hatte ich auch zuerst. Für so etwas verwende ich zum schnellen testen gerne die Software "EUKLID DynaGeo", die kostenlos verfügbar ist. Ist zwar inzwischen etwas in die Jahre gekommen läuft aber auch noch unter Win 10.

Billardtisch Ich hab mir wie hier schon erwähnt den Weg als Gerade vorgestellt und mittels mehrfacher Spiegelung dargestellt. Eine Gerade wie der Weg hier kann nunmal nicht über einen 180°-Winkel hinausgehen, wodurch man auf maximal 5 Bandenberührungen vor dem Kleben kommt

JdPL schrieb:

Hatte ich auch zuerst. Für so etwas verwende ich zum schnellen testen gerne die Software "EUKLID DynaGeo", die kostenlos verfügbar ist. Ist zwar inzwischen etwas in die Jahre gekommen läuft aber auch noch unter Win 10.

Naja, Dreiecke zeichnen kann ich von Hand genausogut.

Franz Auer schrieb:

Naja, Dreiecke zeichnen kann ich von Hand genausogut.

Der Vorteil von Software ist ja, dass man sich anzeigen lassen kann, wie sich die Situation ändert, wenn sich zum Beispiel die Startposition der Kugel ändert.

Dass man auch ein Lineal auf einem Blatt rumschieben kann, habe ich bei der Aufgabe nicht bedacht.

Ich hatte GeoGebra interaktiv verwendet. Wenn man in B oder C beginnt, gibt es nur 4 Bandenberührungen. Beginnt man dazwischen, sind es 5. Erst danach ist mir wieder der Trick mit dem Spiegeln des Tisches eingefallen. Dann war mir auch klar, dass 5 das Maximum ist.

03 Billardtisch von B aus.png https://mega.nz/file/bYYGib4K#…KpUfGG0Fcm747C9eJmIN_vh70

03 Billardtisch von B aus.ggb https://mega.nz/file/nUBAHJBa#…qmmgpJhm65pGVqYkhJG3sK2fY

03 Billardtisch von BC aus.png https://mega.nz/file/uAA2AZxJ#…mtX4Zmgk_f7X9ilvA5Tsz4_gU

03 Billardtisch von BC aus.ggb https://mega.nz/file/qUYAlRSS#…ZJIQ5JiVzJC6a7zLGtvTN2k6k

03 Billardtisch mit Trick.png https://mega.nz/file/7ZJi0baA#…UM91w_dDqa7VbqtMdaY_MxjLI

03 Billardtisch mit Trick.ggb https://mega.nz/file/bQQGGDBC#…jp2tR84v1_Bc63GptsNqvh7Q8

5 Bandenberührungen sind immer dann möglich, wenn die Kugel zu Beginn nicht auf der Mittelsenkrechten der Punkte B und C liegt (Höhe der Seite BC im Dreieck ABC). Erster Stoß MUSS immer Richtung näher gelegenen der beiden Banden AB oder AC erfolgen:

https://www.dropbox.com/s/zoqm…piegelung_Gerade.jpg?dl=0

Zum Glück konnte ich mich an die Aufgabe 17 (Funkelstern aus Eiskronglas) vom Mathekalender 2018 erinnern. Dort führte ebenfalls die Strategie mithilfe von Spiegelungen zum Ziel.

...genau: mit 40 Grad kann man einen Kreis in genau neun Segmente teilen (oder ein regelmäßiges Neuneck konstruieren); Sekanten des Kreises (= Wege der Billardkugel) schneiden dann maximal fünf der Begrenzungslinien der ganzen Segmente. (Es hilft enorm, wenn man die alten Lösungshefte kennt; an den Funkelstern musste ich nämlich auch sofort denken.)

Raaadi schrieb:

Es hilft enorm, wenn man die alten Lösungshefte kennt; an den Funkelstern musste ich nämlich auch sofort denken.

Ich musste sofort bei der Aufgabe zurückdenken an Backstube Aufgabe 5 von 2012. Ich hatte damals leider nicht die Idee, dass man über Spiegelungen den direkten Weg als gerade Strecke realisieren kann, aber der Ansatz blieb irgendwie im Gedächtnis hängen...

Aufgaben, bei denen etwas abprallt / reflektiert wird löst man am besten immer mit Spiegelung der Wände, wie schon von vielen angemerkt.

Ich hatte bei dieser Aufgabe den Vorteil, schon durch eine Aufgabe der Matheolympiade dieses Jahr etwas warm geworden zu sein. Da ließ sich der Ansatz sehr gut übertragen

https://www.mathematik-olympia…/aufgaben/60/1/A60121.pdf

(601213 --> für diejenigen, die die Aufgabe nicht kennen aber gerne mal daran rätseln würden)

Ich hab auch Geogebra genutzt und alle Reflektionen dadrin eingestellt.

Witzigerweise bin ich auf 6 Reflektionen gekommen...

Ich kanns kaum erwarten wieder an diese Datei zu kommen und meinen Fehler zu finden....

Franz Auer schrieb:

Ich komme auf 4, also Lösung 1 und verstehe nicht, was an der Lösung falsch ist.

Hatte ich zuerst auch - wie schon von vielen geschrieben war es recht leicht mit Spiegelungen eine allgemeine Formel abzuleiten und den Kreis zu segmentieren, bis die ausgehende Kugel an der Klebewand hängen blieb.

Dann gerade, als ich das Ergebnis eingeloggt hatte und kurz ins Forum schauen wollte, ist mir eingefallen, dass der erste Stoß ja die Winkelhalbierende gar nicht kreuzen muss, sondern die erste Bande quasi nur touchiert.