4: Weihnachtskerzen / Christmas Candles

  • Den Weg über Wikipedia kann man sich mit dem Additionstheorem cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y) auch sparen.


    Einfach x = 45 und y = 30 setzen. Hiervon sollten sin und cos ja bekannt sein (habe hier zwar auch schummeln müssen :huh:)

  • Es geht auch ohne sin und cos, über die Diagonale von rechts oben nach links unten, wobei man jeweils die Teilstrecken zu Kreismittelpunkten bzw. Kreisberührungen auf der Diagonale bestimmt:


    Die Strecke von der oberen Ecke zum ersten Kreismittelpunkt ist die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1, von dort zum nächsten Kreismittelpunkt die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 2. Von dort zum Berührungspunkt der nächsten beiden Kreise ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge 2, und von dort zum nächsten Berührungspunkt die die Strecke 2. Dann kommt wieder die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge 2, und noch einmal die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1.


    Aus der Diagonalen kann man dann die Seitenlänge des Quadrats bestimmen.

  • Ich habe die Diagonale von links unten nach rechts oben berechnet, indem ich passende Teilstrecken betrachtet habe.

    • Vier Mal kommt der Kerzendurchmesser 2 vor.
    • Vier Mal tritt der Abstand eines Viertelkreises mit Radius 1 zum Eck eines kleinen 1x1-Quadrats auf: 4*(sqrt(2) - 1).
    • Zweimal muss schließlich die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 2 abzüglich des Kreisradius 1 hinzuaddiert werden: 2*(sqrt(3)-1).

    In der Summe ist die Länge der Diagonale also

    8 + 4*(sqrt(2) - 1) + 2*(sqrt(3) - 1) = 2 + 4*sqrt(2) + 2*sqrt(3).

    Um die Seitenlänge des Kartons s zu berechnen muss man diesen Ausdruck durch sqrt(2) teilen und erhält

    s = 4 + sqrt(2) + sqrt(6).

    ThL ist mir zuvorgekommen :)


  • Habe mich gewundert, dass viele die Aufgabe im Forum als einfach bezeichnet haben. Klar, mit der Diagonalen und ein bisschen Fummeln kommt man auf die 12. Müsste man aber nicht noch zeigen, dass das die einzige mögliche Darstellung der Form a plus Wurzel(b) plus Wurzel(c) mit ganzen Zahlen ist? Und wenn ja, wie macht man das?

  • Habe mich gewundert, dass viele die Aufgabe im Forum als einfach bezeichnet haben. Klar, mit der Diagonalen und ein bisschen Fummeln kommt man auf die 12. Müsste man aber nicht noch zeigen, dass das die einzige mögliche Darstellung der Form a plus Wurzel(b) plus Wurzel(c) mit ganzen Zahlen ist? Und wenn ja, wie macht man das?

    Im Sinne der Mathekalender-Aufgabe müsste man das nicht zeigen, da es keine Antwortmöglichkeit "Die Summe der drei Zahlen kann nicht eindeutig bestimmt werden" gab, und per Definition genau eine Antwort richtig sein muss. ;)

  • Ich muss gestehen, dass ich auch zuerst Brut-Force die Lösung über die Winkelfunktionen angegangen bin und dann recht lange dafür gebraucht habe, dies in die erforderliche Gleichungsform zu bringen.


    Danach bin ich dann durch einen Hinweis im Forum, auf die Lösung mit der Diagonalen gebracht worden. Dies würde ich schon als versteckten Lösungshinweis werten.

  • Es geht auch ohne sin und cos, über die Diagonale von rechts oben nach links unten, wobei man jeweils die Teilstrecken zu Kreismittelpunkten bzw. Kreisberührungen auf der Diagonale bestimmt:


    Die Strecke von der oberen Ecke zum ersten Kreismittelpunkt ist die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1, von dort zum nächsten Kreismittelpunkt die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 2. Von dort zum Berührungspunkt der nächsten beiden Kreise ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge 2, und von dort zum nächsten Berührungspunkt die die Strecke 2. Dann kommt wieder die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge 2, und noch einmal die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1.


    Aus der Diagonalen kann man dann die Seitenlänge des Quadrats bestimmen.

    Genialer Ansatz!

    Ich hatte das mit etwas Geogebra-rumgeschubse "gelöst", aber deinen Ansatz nachzurechnen war deutlich schöner und eleganter!