6: Würfelspiel / Game of Cubes

  • Hier bin ich gespannt auf eine Erkärung wie Knecht Ruprecht bei N=7 den Sieg erzwingen kann.

    Meine (scheinbar nicht ganz optimale) Strategie ist:

    Ruprecht schreibt alle Zahlen gleich oft, also drei mal

    Kubo schreibt nur gerade Zahlen < N (zB nur 2en)

    In Phase 2 braucht Kubo dann soweit möglich alle Würfel mit N darauf auf und kann damit Ruprecht (soweit ich es probiert habe) besiegen falls N>=7...
    Ich bin gespannt auf bessere Strategien!

  • Ruprecht muss die 1 und die 2 nur auf einen Würfel schreiben.

    Ich habe leider meine Würfelverteilung nicht mehr, aber Ruprecht kann auf jeden Würfel so 3 Zahlen schreiben, dass er auch dann gewinnt, wenn Kubo beliebige Würfel legen darf (sich also nicht an die Regeln halten muss).

  • Ruprecht kann immer 3 Zahlen seiner Wahl auf jeden beliebigen Würfel schreiben.


    1. Würfel: 1 * * * * *

    2. Würfel: 2 3 4 * * *

    3. Würfel: 3 4 5 * * *

    4. Würfel: 3 4 7 * * *

    5. Würfel: 5 6 7 * * *

    6. Würfel: 5 6 7 * * *

    7. Würfel: 5 6 7 * * *


    dann bleiben in der 2. Spielrunden immer noch genug Möglichkeiten

  • Ich sehe nicht, dass Ruprecht mit diesen ersten 6 Würfeln den Sieg erzwingen kann. Kubo könnte auf den 6. Würfel eine 2 und auf den 5. Würfel eine 4 geschrieben haben. Dann gibt es nach dem 4. Zug schon keinen Würfel mehr, der eine 6 hat.


    Ich habe für jedes N eine eigene Beschriftung für Ruprecht gefunden. Diese erlauben alle beliebigen Zugmöglichkeiten von Kubo:

    N=4: 1, 2 3 4, 2 3 4, 2 3 4

    N=5: 1, 2 3 4, 2 3 5, 2 4 5, 3 4 5

    N=6: 1, 2 5 6, 3 5 6, 3 5 6, 4 5 6, 4 5 6

    N=7: 1, 2 3 7, 3 4 7, 4 5 7, 5 6 7, 5 6 7, 5 6 7

  • Hier eine alternative Beschriftung von Ruprecht für N = 7: 1xx ; 235 ; 347 ; 457 ; 567 ; 567 ; 567

    Damit Ruprecht gewinnt benötigt er 4 mal die 7 ; 3 mal die 6 ; 3 mal die 5 ; 2 mal die 4 ; 2 mal die 3 ; einmal die 2 und einmal die 1. Er kann 19 = 21 - 2 Einträge machen und benötigt aber nur 16. (xx ist irrelevant, da Ruprecht diesen Würfel als erstes wegnimmt).

    Er muss nur darauf achten, dass Kubo ihm nicht alle seine (und Kubos) Würfel mit der benötigten Zahl wegnehmen kann.

    Beispiel: Kubo "braucht" in seinem 3.Zug einen Würfel mit einer 6 drauf. Kubo kann zuvor aber nur zwei Würfel seiner Wahl entfernen. Wenn es also 3 Würfel mit einer 6 gibt, kann Kubo diese nicht alle entfernen.


    Übrigens eine Verteilung für N = 8 lautet: 1xx ; 234 ; 345 ; 457 ; 578 ; 678 ; 678 ; 678


    Für N = 9 kann er auch noch den Sieg erzwingen: 1xx ; 234 ; 345 ; 567 ; 569 ; 689 ; 789 ; 789 ; 789


    Ab N = 10 funktioniert es nicht mehr, denn Ruprecht würde benötigen: 1 mal 1 ; 1 mal 2 ; 2 mal 3 ; 2 mal 4 ; 3 mal 5 ; 3 mal 6 ; 4 mal 7 ; 4 mal 8 ; 5 mal 9 ; 5 mal 10

    Also 30 Einträge, er hat aber nur 30 - 2 = 28 zur Verfügung. :)

  • Knecht Ruprecht schreibt als erstes eine 1 auf einen Würfel, dann schreibt er immer eine Zahl auf den Würfel, den gerade Kubo beschrieben hatte. Somit bekommt er auf jeden Würfel mindestens ein Triplett, deren Zahlen er selbst bestimmt hat. Und damit kann er mindestens aus 9 Würfeln einen Turm bauen.

    Meine Tripletts für 9 sind dabei:

    1xx

    234

    368

    457

    569

    569

    789

    789

    789


    Klappt natürlich auch mit weniger Würfeln und entsprechend weniger Zahlen.

  • Mit Deinen Tripletts klappt es meiner Meinung nach nicht, wenn Kubo in der ersten Phase die von Ruprecht vorgenommenen Beschriftungen wie folgt ergänzt:

    w_1 = 1xx|xxx

    w_2 = 234|xxx

    w_3 = 368|222

    w_4 = 457|xxx

    w_5 = 569|888

    w_6 = 569|888

    w_7 = 789|222

    w_8 = 789|444

    w_9 = 789|666


    Ablauf der Phase zwei:

    (1) Ruprecht wählt w_1

    (2) Kubo wählt w_7

    (3) Ruprecht muss w_2 wählen, da dieser Würfel nach Cubo w_8 sonst unbrauchbar wird

    (4) Kubo wählt w_8

    (5) Ruprecht muss w_5 (oder w_6) wählen, da mit der Wahl von w_4 keine 7 mehr übrig bliebe

    (6) Kubo wählt w_9

    (7) Ruprecht bleibt für diesen Zug nur w_4

    (8) Kubo wählt w_6

    (9) Ruprecht hat verloren, da der verbliebene Würfel w_3 keine 9 enthält.

    Dieser Beitrag wurde bereits 1 Mal editiert, zuletzt von maroc () aus folgendem Grund: Sorry, Kubo, ich hatte Deinen Namen mit C geschrieben ...

  • Hier bin ich gespannt auf eine Erkärung wie Knecht Ruprecht bei N=7 den Sieg erzwingen kann.

    Meine (scheinbar nicht ganz optimale) Strategie ist:

    Ruprecht schreibt alle Zahlen gleich oft, also drei mal

    Kubo schreibt nur gerade Zahlen < N (zB nur 2en)

    In Phase 2 braucht Kubo dann soweit möglich alle Würfel mit N darauf auf und kann damit Ruprecht (soweit ich es probiert habe) besiegen falls N>=7...
    Ich bin gespannt auf bessere Strategien!

    Hab meinen Lösungszettel leider entsorgt, aber Ruprecht kann noch für deutlich größere Zahlen als N=7 den Sieg erzwingen. Meine Strategie hat sich im Wesentlichen an den Möglichkeiten von Kubo orientiert.

    Es wird schnell klar, das Ruprecht die hohen Zahlen häufiger schreiben muss, da Kubo beim Spielen versuchen wird alle Würfel auf denen hohe Zahlen stehen frühzeitig zu "verbrauchen". Außerdem muss Kubo verhindern, dass Ruprecht die Würfel so beschriftet, dass es Würfel mit einem Übergewicht an hohen Zahlen gibt, da er diese dann in der Spielphase nicht "verbrauchen" kann.

    Dies führt zu einer Art Gleichgewicht, in der Kubo und Rupprecht im Wesentlichen jeweils 3 Seiten auf jedem Würfel beschriften.

    Ruprecht muss die 1 nur einmal auf einen Würfel schreiben.

    Mit diesen Grundüberlegungen kommt man recht flott zu einer Strategie, die es Rupprecht ermöglicht, den Sieg zu erzwingen, egal was Kubo auf die Würfel schreibt. Die Strategie geht dann sogar noch höher, wenn Rupprecht ausnutzt, dass Kubo ja auch Zahlen (z.B. lauter 2er - nur als Beispiel) schreiben muss.

  • Ich glaube es muss noch höher gehen, denn Kubo muss (!) auch Zahlen zwischen 1 und N auf die Würfel schreiben. Und Ruprecht kann dies in seiner Strategie ausnutzen (muss z.B. manche Zahlen garnicht mehr schreiben). Dadurch gibt es dann natürlich keine statische Strategie von Ruprecht mehr, wie Du sie hier skizziert hast und der Entscheidungsbaum explodiert recht flott.

  • Ich glaube es muss noch höher gehen, denn Kubo muss (!) auch Zahlen zwischen 1 und N auf die Würfel schreiben. Und Ruprecht kann dies in seiner Strategie ausnutzen (muss z.B. manche Zahlen garnicht mehr schreiben).

    Hm, ich glaube nicht, dass Ruprecht bei einer optimalen Strategie Kubos allzu viel "ausnutzen" kann. Kubo wird zunächst einfach die von Ruprecht geschriebenen Zahlen (auf dem jeweils gleichen Würfel) wiederholen. Erst gegen Schluss der ersten Spielphase wird er dann "zuschlagen", indem er die von Ruprecht mit hohen Zahlen versehenen Würfel mit niedrigen geraden Zahlen ergänzt (um sie in der zweiten Spielphase möglichst früh verbrauchen zu können).

    Dadurch gibt es dann natürlich keine statische Strategie von Ruprecht mehr, wie Du sie hier skizziert hast und der Entscheidungsbaum explodiert recht flott.

    Deine Unterscheidung zwischen statischen und echt interaktiven Strategien finde ich für die weitere Diskussion der Aufgabe sehr hilfreich! Für alle N bis einschließlich 8 meine ich statische Strategien für Ruprecht gefunden zu haben, d.h. er kann in der ersten Phase seine Beschriftungen völlig unabhängig von denen Kubos vornehmen. Für N=9 konnte ich bisher allerdings keine solche Strategie finden. Kannst Du oder sonst jemand eine solche angeben?

  • Kubo wird zunächst einfach die von Ruprecht geschriebenen Zahlen (auf dem jeweils gleichen Würfel) wiederholen. Erst gegen Schluss der ersten Spielphase wird er dann "zuschlagen", indem er die von Ruprecht mit hohen Zahlen versehenen Würfel mit niedrigen geraden Zahlen ergänzt (um sie in der zweiten Spielphase möglichst früh verbrauchen zu können).

    Ich habe das eine Weile "durchgespielt" (leider meine Schmierzettel entsorgt :() und ich glaube nicht, dass es eine solche 2-Phasen Strategie von Kubo geben kann, wenn Ruprecht richtig auf Kubo's Züge reagiert.

    Ein triviales Wiederholen der Zahlen von Ruprecht, ist m.E. keine optimale Taktik von Kubo, da es ihm damit sehr schwer wird, die Würfel mit hohen Zahlen früh im Spiel zu verbrauchen. Die Interessen Kubo's und Ruprechts sind recht entgegengesetzt:

    • Es liegt im Interesse Ruprechts, die Würfel möglichst inhomogen mit jeweils gleichen Zahlen zu beschriften (damit sie eben nicht frühzeitig verbraucht werden können) - Also z.B. mit 56****, 56****, 78****, 78**** zu beschriften. Außerdem liegt es im Interesse Ruprechts die Würfel mit hohen Zahlen zu beschriften.
    • Es liegt im Interesse Kubos, die Würfel möglichst homogen zu beschriften (also niedrige mit hohen Zahlen zu mischen), um hohe Zahlen frühzeitig aus dem Spiel nehmen zu können. Auch liegt es im Interesse Kubos die Würfel mit möglichst kleinen Zahlen zu beschriften. Es ist zu beachten, dass es nicht im Interesse Kubos liegt, alle Würfel ausschließlich mit 2 zu beschriften (also ..., 778222, 788222, ....), da er die 2 nur einmal legen kann.

    Ich glaube, das dies am Ende dazu führt, dass Ruprecht (bis auf die 1) wahrscheinlich gar keine niedrigen Zahlen schreiben muss.


    Die optimale Strategie wird immer eine dynamische sein. Das macht einen Beweis knifflig. Ich war mit einer nicht überaus komplexen Taktik auf N=9 gekommen und hatte dabei noch einige freie Würfelfelder zum Beschriften übrig. Auch war ich mir ziemlich sicher, das diese Taktik nicht von Kubo durch eine geänderte Gegentaktik durchkreuzt werden konnte, ohne dass Ruprecht dadurch noch mehr Vorteile bekommen hätte. Grob abgeschätzt hatte ich damals N=13 als machbar betrachtet. Diese Überlegungen dann zu einem echten Beweis auszubauen, war mir aber zu aufwendig, auch wenn das aus Sicht eines echten Mathematikers vielleicht unbefriedigend ist. Dieses Problem kann eventuell tatsächlich numerisch besser gelöst werden.

  • Wenn man jeweils auf die jeweilige Beschriftung in Phase 1 flexibel reagieren will (sozusagen "flexible response" ;)), dann wird es sehr schwer hier ein maximales N zu bestimmen. Ich habe die Aufgabe immer so aufgefasst, dass Ruprechts Strategie immer zum Sieg führt, egal wie Kubo sich in Phase 1 und Phase 2 verhält.

    Bis N = 8 habe ich eine Strategie (Phase 1 und 2) gefunden. Mein Beispiel zu N = 9 war ja leider falsch (nochmals vielen Dank für den Hinweis an JdPL :)).