6: Würfelspiel / Game of Cubes

  • Ab N = 10 funktioniert es nicht mehr, denn Ruprecht würde benötigen: 1 mal 1 ; 1 mal 2 ; 2 mal 3 ; 2 mal 4 ; 3 mal 5 ; 3 mal 6 ; 4 mal 7 ; 4 mal 8 ; 5 mal 9 ; 5 mal 10

    Also 30 Einträge, er hat aber nur 30 - 2 = 28 zur Verfügung.

    Das ist, finde ich, eine richtige Bemerkung – und beweist, dass für N > 9 prinzipiell keine "statischen" Strategien existieren können (also solche, die unabhängig von Kubos Beschriftungen wären). Doch wie ließe sich die Frage angehen, ob es nicht "dynamische" Strategien gibt, bei denen Ruprecht flexibel auf Kubos Zahlen reagiert?

  • Leider nein: R wählt natürlich 1** ; Kubo wählt 345 (er hat dort eine 2 eingetragen) ; dann muss R die einzige 3 wählen, also 235 ; Kubo wählt 579 (er hat dort eine 4 eingetragen) und dann R leider keine 5 mehr.

    Verflixt, diese Variante hatte ich tatsächlich übersehen! :cursing: Vielleicht wurde ja in der Aufgabenstellung die 7 nicht ohne Grund als größtes N gewählt und auch in meinen/unseren Lösungen für N = 8 stecken Fehler ...

  • Verflixt, diese Variante hatte ich tatsächlich übersehen! :cursing: Vielleicht wurde ja in der Aufgabenstellung die 7 nicht ohne Grund als größtes N gewählt und auch in meinen/unseren Lösungen für N = 8 stecken Fehler ...

    Bei meiner Lösung für N=8 bin ich mir ziemlich sicher, dass sie klappt (ich habe sehr viele Varianten für Kubos Vorgehen durchprobiert). :)

  • Ich habe ein paar Maximalwerte:

    Wenn Kubo sich verpflichtet, auf jeden Würfel 2,4,6 zu schreiben, muss Ruprecht ein Mal 1, zwei Mal 3, drei Mal 5 und vier Mal jede Zahl größer oder gleich 7 schreiben. Das geht ab 19 Würfeln nicht mehr.


    Etwas besser ist Kubo mit folgender Strategie (da er als zweiter dran ist, kann er jeweils auf Ruprecht "antworten").

    Ruprecht schreibt k. Kubo schreibt die kleinste gerade Zahl, die auf keinem Würfel mit k steht, außer diese Zahl wäre größer oder gleich 12. In diesem Fall schreibt Kubo eine 2.

    Bei dieser Strategie muss Ruprecht ein Mal 1, zwei Mal 3, drei Mal 5 und vier Mal 7, fünf Mal 9 und 6 Mal jede Zahl größer oder gleich 11 schreiben. Das geht ab 16 Würfeln nicht mehr. (Und ist ab 15 Würfel schon eine Punktlandung mit den 3*15 Seitenflächen, die Ruprecht beschriftet.)


    Bei meiner Lösung für N=8 bin ich mir ziemlich sicher, dass sie klappt (ich habe sehr viele Varianten für Kubos Vorgehen durchprobiert). :)

    Ich habe noch keinen formalen Beweis, aber ich glaube auch, dass die Lösung für N=8 noch funktioniert.


    Also ist N=9 bis N=15 offen.

  • Hört sich sehr ähnlich, wie meine initialen Überlegungen an, mit denen ich grob N=13 als machbar abgeschätzt habe.

  • Okay, ich hab mir das mal mit N = 9 angeschaut xD


    (a) Es müssen folgende Zahlen verteilt werden:

    - 2

    - 3,3

    - 4,4

    - 5,5,5

    - 6,6,6

    - 7,7,7,7

    - 8,8,8,8

    - 9,9,9,9,9


    (b) Dabei muss in einem Tripel die größte Zahl ungerade sein, denn wäre die größte Zahl gerade:

    - nachdem mit der zweitgrößten Zahl noch nicht dieses Tripel genommen wurde, muss der andere bei der geraden Zahl nicht dieses Tripel nehmen = das Tripel wird unbrauchbar

    - demnach müsste man selbst mit der zweitgrößten Zahl dieses Tripel nehmen (damit der andere es nicht unbrauchbar macht), wodurch man dem Gegner aber eine gerade Zahl wegnimmt, welches bei der Verteilung oben nicht eingerechnet ist.


    Somit kommen mindestens vor (neben 1xx):

    - 98

    - 98

    - 98

    - 98

    - 76

    - 76


    (c) Es ist günstig die 2 mit einer 3 zu kombinieren, damit wir dann mit der 3 die unbrauchbare 2 entfernen; ebenso eine 5 mit der 4:

    - 32

    - 54


    (d) eine ungerade Zahl darf nur mit größeren Zahlen höchstens einmalig kombiniert werden

    Wäre die Zahl u mit der Zahl k > u zweifach kombiniert, dann könnte der Gegner uns zwingen, dass mit der Zahl u alle Tripels, die u enthalten, entfernt sind. Somit würden wir mit u die Zahl k zweifach entfernen - vorgesehen ist in der Verteilung aber nur einfach (einmal wurde k durch u oder u-1 entfernt).



    Die verbleibende 6 kann wegen (b) nur mit 98 kombiniert werden: 986

    Die verbleibende 4 kann wegen (d) nur mit 98 kombiniert werden, damit jede andere ungerade Zahl (3,5,7) höchstens einfach mit 9 kombiniert werden muss: 984

    Somit werden wegen (d) eine 7 mit 98 kombiniert: 987 und dann entweder eine 5 mit 98 und die 32 mit 9 - oder eine 3 mit 98 und die 54 mit 9;


    Fall 1:

    986

    984

    987

    985

    329

    76+3

    76+5

    54+7

    Nun muss aber die verbleibende 7 mit 54 kombiniert werden und eine 76 mit 5. Dann gäbe es 2 Kombis mit 75, so dass mit zur 5:

    1xx - 985(2) - 763[damit keine zweite 9 mit 932 fliegt] - 547 - 765[da keine andere 5 da] - 987(6) - keine 7 mehr vorhanden :/


    Fall 2:

    986

    984

    987

    983

    549

    76+5

    76+5

    32+7

    Hier noch mehr Probleme (auch zweimal 75 und 65)




    So sollte es mit N=9 niemals funktionieren... vielleicht auf (c) verzichten (dass es nicht so günstig sein muss :S)


    Probiere ich es ohne (c). Mit (b) und (d: beide verbleibenden 7 können nicht mit einer 9 kombiniert werden, also mindestens eine 7 ist noch die maximale Zahl):

    98x

    98x

    98x

    98x

    9xx

    76x

    76x

    7xx


    Nun die kleineren Zahlen verteilen... die 3 5en müssen jetzt mindestens einmal doppelt mit 7 oder 9 verteilt werden, dies widerspricht (d) und man würde verlieren.


    Kann man so zeigen, dass N=9 nicht geht?

  • Einspruch :); bei N=9 muss Ruprecht die 2 und mindestens eine 4 (und wahrscheinlich auch zwei 6er) nicht verteilen. Sollte Kubo es drauf ankommen lassen, wird Ruprecht die 2 erst als vorletzte Zahl schreiben, bevor er die 1 auf den letzten freien Würfel schreibt. Kubo hätte seine Position für Phase 2 dadurch aber derart geschwächt, dass ich bezweifele, das er gewinnen kann.


    (b) Dabei muss in einem Tripel die größte Zahl ungerade sein, denn wäre die größte Zahl gerade:

    - nachdem mit der zweitgrößten Zahl noch nicht dieses Tripel genommen wurde, muss der andere bei der geraden Zahl nicht dieses Tripel nehmen = das Tripel wird unbrauchbar

    - demnach müsste man selbst mit der zweitgrößten Zahl dieses Tripel nehmen (damit der andere es nicht unbrauchbar macht), wodurch man dem Gegner aber eine gerade Zahl wegnimmt, welches bei der Verteilung oben nicht eingerechnet ist.

    Einspruch :):

    - Die Tripel können von Kubo ergänzt werden und zwar durch gerade Zahlen. Am Ende zählt was auf dem Würfel steht und nicht welche der zwei Tripel von Kubo und welche von Ruprecht kommen. Kubo kann somit sowohl Würfel mit Ruprecht-Tripeln deren größte Zahl ungerade ist, als auch deren größte Zahl gerade ist "unbrauchbar" machen. Ruprecht muss beim Beschriften die Zahlen so mutieren, dass dies nicht geht.

    - Gerade Zahlen wegnehmen ist nicht das Problem, wenn die Beschriftung durch Kubo dies zulässt. Wichtig: die Würfel werden abwechselnd beschriftet Ruprecht muss auf die Beschriftung von Kubo reagieren. Dadurch kann er die Verteilung oben auch unterbieten. Die Verteilung oben ist nur notwendig, wenn Kubo sinnvoll beschriftet. Dann muss Kubo aber 2er, 4er und ggf. 6er aufschreiben, die Ruprecht nicht mehr aufschreiben muss und die somit aus der obigen Verteilung herausfallen.

  • Kubos Strategie könnte es sein: ich schreibe auf den Würfel eine Zahl, auf den Knecht Ruprecht gerade eine geschrieben hat - und dabei nie eine neue Zahl. Dann sind auf jedem Würfel höchstens 3 Zahlen, welche alle Ruprecht bestimmt hat. Und Ruprecht kann seine Strategie nicht in Abhängigkeit von dem anpassen, dass evtl Kubo neue Zahlen auf die Würfel schreiben würde.


    Nur als letzte Zahl auf einen Würfel könnte dann Kubo noch zusätzlich eine 2.4,6,8 aufbringen, wenn er diesen Würfel doch eher als das von Ruprecht angegebene Tripel spielen mag. Darauf könnte dann Ruprecht reagieren.

    Also etwa: ich bastel mir erst diesen und jenen Würfel, aber sollte Kubo dort zusätzlich eine gerade Zahl g aufbringen, dann gestalte ich den nächsten Würfel anders.


    Ist auch die Frage ob Kubo immer so vorgeht... Aber wenn er einen anderen Würfel beschriftet, dann ermöglicht er Ruprecht auf dem letzten sogar 4 eigene Zahlen und den von Kubo gerade beschriebenen könnte er auch zu einem ihm passenden Tripel machen.



    Aber langsam wird mir das zu kompliziert, wenn man sich jetzt noch überlegt: Ruprecht macht seine Triplets in Abhängigkeit davon, ob Kubo noch eigene Zahlen (andere als das Triplet) darauf schreibt und die Reihenfolge, wie die Triplets notiert werden, ist dafür auch wichtig. Vielleicht kann Ruprecht dann auch immer gewinnen, aber ich verstehe warum man uns nur N = 7 zugemutet hat.

  • Kubos Strategie könnte es sein: ich schreibe auf den Würfel eine Zahl, auf den Knecht Ruprecht gerade eine geschrieben hat - und dabei nie eine neue Zahl. Dann sind auf jedem Würfel höchstens 3 Zahlen, welche alle Ruprecht bestimmt hat. Und Ruprecht kann seine Strategie nicht in Abhängigkeit von dem anpassen, dass evtl Kubo neue Zahlen auf die Würfel schreiben würde.


    Nur als letzte Zahl auf einen Würfel könnte dann Kubo noch zusätzlich eine 2.4,6,8 aufbringen, wenn er diesen Würfel doch eher als das von Ruprecht angegebene Tripel spielen mag. Darauf könnte dann Ruprecht reagieren.

    Also etwa: ich bastel mir erst diesen und jenen Würfel, aber sollte Kubo dort zusätzlich eine gerade Zahl g aufbringen, dann gestalte ich den nächsten Würfel anders.


    Es ist recht hilfreich zum Verständnis des Zusammenspiels von Kubo's und Ruprecht's Taktiken, sich das Problem in niedrigeren Dimensionen einmal selber durchzuspielen.


    Also für Würfel mit 2 Seiten ist es recht trivial - Ruprecht gewinnt für N=1,2,3 und Kubo für N>3. Die Taktik von Ruprecht und Kubo ist einfach.


    Für Würfel mit 4 Seiten wird es interessant, welche Taktik von Kubo und Gegentaktik von Ruprecht was bewirkt. Ich habe für N=7 noch nicht schlüssig beweisen können, dass Ruprecht immer gewinnen kann. Bisher glaube ich, das Kubo mit folgender Taktik immer gewinnen kann: In der ersten Runde schreibt er immer nach Ruprecht auf den jeweiligen Würfel eine 2; In der zweiten Runde schreibt er möglichst spät (vorletzter oder vorvorletzter Würfen - der letzte Würfel bleibt i.d.R. leer und wird ganz am Ende von Ruprecht mit einer 1 beschriftet) eine 4 und zwar so, dass er damit ein hohes Zahlenpaar (7 und 6) von Ruprecht unbrauchbar machen kann. Ansonsten schreibt er in der zweiten Runde ebenfalls 2er.


    Man lernt durch Durchspielen der Optionen bei 4 Seiten und N=6 / N=7 einiges über Kubo's und Ruprecht's optimale Taktik. U.a. dass es für Kubo keinen Sinn macht, darauf zu verzichten von vorne hinein auf alle Würfel eine 2 zu schreiben. Sodann, dass er für höhere N nicht bei den 2ern stehenbleiben darf, sondern mindestens eine höhere Zahl anbringen muss. Wie hoch diese höhere Zahl seien muss hängt von N und der "Dimension" des Würfels ab. Eine genaue Formel habe ich aber noch nicht gefunden.


    Insgesamt, ist hier wahrscheinlich ein numerischer Ansatz sinnvoll, um solche Fragen zu klären. Aus der Spieltheorie sollte es dazu auch Ansätze geben - ich hoffe auf das Lösungsheft und weiterführende Literaturhinweise....