8: Explosion

  • Hier mal meine Lösung, da hier noch nix geschrieben wurde.

    Seien l/L r/R b/B jeweils, dass linke Augenbraue (l/L) bzw rechte Augenbraue (r/R) bzw Bart (b/B) nicht versengt (klein geschrieben) oder versengt (groß geschrieben) seien. A(x) ist der jeweilige Anteil dieser Gruppen an allen.


    Dann gilt:

    (i) A(LrB) + A(LRB) > 0.95

    (ii) A(lRB) + A(LRB) > 0.95


    Somit:

    2 A(LRB) + A(LrB) + A(lRB) > 1.90


    Davon 1 (also 100% abziehen):

    [2 A(LRB) + A(LrB) + A(lRB)] - [A(lrb) + A(Lrb) + A(lRb) + A(lrB) + A(LRb) + A(LrB) + A(lRB) + A(LRB)] > 0.90

    A(LRB) - [A(lrb) + A(Lrb) + A(lRb) + A(lrB) + A(LRb)] > 0.90

    → A(LRB) > 0.90


    Mindestens 90% haben also alles versengt.


    Nun wollen wir das Minimum bestimmen von:

    p = A(LRB) / [A(LRB) + A(LRb)]


    Dies wird unter anderem klein, wenn A(LRb) möglichst groß wird... also viele beide Augenbrauen, aber nicht den Bart versengt haben.

    Nehmen wir an, es sei A(LRB) = t > 0.90


    Dann ist:

    (1) 0.90 < t <= 0.95

    A(LrB) > 0.95-t

    A(lRB) > 0.95-t

    [damit (i) und (ii) gelten]
    Damit möglichst viele LRb sein können, sollte deren Anteile möglichst klein sein, also A(LrB) = A(lRB) = 0.95-t (nur etwas größer).

    Außerdem kann man annehmen, dass A(lrb) = A(Lrb) = A(lRb) = A(lrB) = 0 (sind ja je nur ein Wichtel, und damit fast 0 Prozent wenn man von genügend anderen Wichteln ausgeht).

    Somit: A(LRb) = 1 - [A(lrb) + A(Lrb) + A(lRb) + A(lrB) + A(LrB) + A(lRB) + A(LRB)] = 1 - [0.95-t + 0.95-t + t] = t - 0.90

    → p = A(LRB) / [A(LRB) + A(LRb)] = t / [2t-0.90]


    Deren Minimum im Bereich 0.90 < t <= 0.95 liegt bei t = 0.95 und p = 0.95.


    (2) 0.95 < t < 1.00

    Hier benötigt man keine (LrB) und (lRB) damit (i) und (ii) erfüllt sind. Somit kann man deren Anteile auch als 0 annehmen, damit möglichst viele LRb sind:

    A(LRb) = 1-t

    → p = A(LRB) / [A(LRB) + A(LRb)] = t / 1


    Deren Minimum im Bereich 0.95 < t < 1.00 liegt bei t → 0.95 und p = 0.95.



    Somit gilt die Aussage von Calculus sicher für x = 95 noch.