8: Explosion

Hier mal meine Lösung, da hier noch nix geschrieben wurde.

Seien l/L r/R b/B jeweils, dass linke Augenbraue (l/L) bzw rechte Augenbraue (r/R) bzw Bart (b/B) nicht versengt (klein geschrieben) oder versengt (groß geschrieben) seien. A(x) ist der jeweilige Anteil dieser Gruppen an allen.

Dann gilt:

(i) A(LrB) + A(LRB) > 0.95

(ii) A(lRB) + A(LRB) > 0.95

Somit:

2 A(LRB) + A(LrB) + A(lRB) > 1.90

Davon 1 (also 100% abziehen):

[2 A(LRB) + A(LrB) + A(lRB)] - [A(lrb) + A(Lrb) + A(lRb) + A(lrB) + A(LRb) + A(LrB) + A(lRB) + A(LRB)] > 0.90

A(LRB) - [A(lrb) + A(Lrb) + A(lRb) + A(lrB) + A(LRb)] > 0.90

→ A(LRB) > 0.90

Mindestens 90% haben also alles versengt.

Nun wollen wir das Minimum bestimmen von:

p = A(LRB) / [A(LRB) + A(LRb)]

Dies wird unter anderem klein, wenn A(LRb) möglichst groß wird... also viele beide Augenbrauen, aber nicht den Bart versengt haben.

Nehmen wir an, es sei A(LRB) = t > 0.90

Dann ist:

(1) 0.90 < t <= 0.95

A(LrB) > 0.95-t

A(lRB) > 0.95-t

[damit (i) und (ii) gelten]
Damit möglichst viele LRb sein können, sollte deren Anteile möglichst klein sein, also A(LrB) = A(lRB) = 0.95-t (nur etwas größer).

Außerdem kann man annehmen, dass A(lrb) = A(Lrb) = A(lRb) = A(lrB) = 0 (sind ja je nur ein Wichtel, und damit fast 0 Prozent wenn man von genügend anderen Wichteln ausgeht).

Somit: A(LRb) = 1 - [A(lrb) + A(Lrb) + A(lRb) + A(lrB) + A(LrB) + A(lRB) + A(LRB)] = 1 - [0.95-t + 0.95-t + t] = t - 0.90

→ p = A(LRB) / [A(LRB) + A(LRb)] = t / [2t-0.90]

Deren Minimum im Bereich 0.90 < t <= 0.95 liegt bei t = 0.95 und p = 0.95.

(2) 0.95 < t < 1.00

Hier benötigt man keine (LrB) und (lRB) damit (i) und (ii) erfüllt sind. Somit kann man deren Anteile auch als 0 annehmen, damit möglichst viele LRb sind:

A(LRb) = 1-t

→ p = A(LRB) / [A(LRB) + A(LRb)] = t / 1

Deren Minimum im Bereich 0.95 < t < 1.00 liegt bei t → 0.95 und p = 0.95.

Somit gilt die Aussage von Calculus sicher für x = 95 noch.