9: Überflüssige Geschenke / Superfluous Presents

  • Ich skizziere hier einmal meine Überlegungen:


    Zunächst ist klar, dass von E genau 2 Einheiten in Richtung M abfließen müssen. Sei x der Fluss von E nach A und y der Fluss von E nach F, dann gilt x + y = 4.

    Zudem folgt aus p_u = 0 sofort p_a = 1 und analog aus p_T >=0 sofort p_F >=1. (I)


    Die entscheidende Frage ist, ob in der Leitung von FA Gas fließen kann. Wenn ja, dann natürlich nur von F nach A (siehe (I)).

    Sei z >= 0 der Fluss von F nach A.

    Nun kann man zwei Gleichungen für den Druck bei E aufstellen:

    (a) : (p_E)² = 1 + y² und (b): (p_E)² = (p_F)² + x² = 1 + z² + x²


    Aus (a) und (b) folgt: 1 + y² = 1 + z² + x² bzw. y² = z² + x² (c)

    Zudem gilt: x >= 2 (da sowohl in F als auch in T jeweils eine Einheit entnommen wird) und damit y <=2

    ==> y² <=4 und x² >= 4 und damit auch z² + x² >= 4


    Aus Gleichung (c) folgt jetzt sofort: y² = 4 ; z² = 0 und x² = 4 ==> Es fließt kein Gas in der Leitung FA und x = y = 2


    Aus y = 2 folgt sofort mit (a): (p_E)² = 1 + 4 = 5 bzw. P_E = Wurzel (5). :)

  • Ich habe einfach mal versucht, ob es funktioniert, wenn zwischen F und A kein Gas fließt. Und ja, es funktioniert und man erhält an der Stelle E den Druck sqrt(5). Da es keine Antwortmöglichkeit gibt, die aussagt, dass es mehrere Möglichkeiten geben kann, war für mich klar, dass das die Lösung sein muss.

  • Ich habe einfach mal versucht, ob es funktioniert, wenn zwischen F und A kein Gas fließt. Und ja, es funktioniert und man erhält an der Stelle E den Druck sqrt(5). Da es keine Antwortmöglichkeit gibt, die aussagt, dass es mehrere Möglichkeiten geben kann, war für mich klar, dass das die Lösung sein muss.

    So bin ich auch vorgegangen. Ich habe nur hinterher noch beweisen wollen, dass kein Gas von F nach A fließt. :)

  • [...] Die entscheidende Frage ist, ob in der Leitung von FA Gas fließen kann. Wenn ja, dann natürlich nur von F nach A [...]:)

    Die entscheidende Frage kann mit der Betrachtung des Leitungsdreiecks E, F, A mit pE > pF, pA einfacher geklärt werden:


    Unter der Annahme "x fließt von F nach A" gilt :

    (1) pE² - pA² = ( 2 - x )² = 4 - 4x + x²

    (2) pE² - pF² = ( 2+ x )² = 4 + 4x + x²

    Bereits hier kann erkannt werden, dass x € [-2 ; 2 ], denn sonst würden Geschenke von A oder F zu E fließen ...


    (1) - (2) pF² - pA² = -8x = x² (! Weymouth-Gleichung zwischen F und A)

    => x² + 8x = x ( x + 8 ) = 0

    => x1 = -8 wie oben geklärt: keine sinnvolle Lösung

    x2 = 0 macht den Weg frei für einfaches Weiterrechnen mit ganzzahligen Flussmengen