16: Mützen, die schützen / Head Protecting Hats

  • Hi, ich komme auf QS(p)=11, kann mal bitte jemand bestätigen, dass meine Lösung falsch ist?:


    Ansteckungsgefahr = P(beide keine Mütze) + 0,5 * P(krank Mütze und gesund keine Mütze) + 0,05 * P(krank keine Mütze und gesund Mütze) + 0.025 * P(beide Mütze) = (1-p)^2 + 0,55 p(1-p) + 0,025 p^2.


    Für p = 82%: Ansteckungsgefahr = 0.13039

    Für p = 83%: Ansteckungsgefahr = 0.1237275


    => kleinstes ganzzahliges p = 83%

  • Frage: Habt ihr angenommen, dass "IBeanie tragen" und "Flöhe haben" stochastisch unabhängig sind? Und warum sollte man das tun dürfen?


    Das folgt aus der goldenen Regel des mathematischen Adventkalenders:

    Laut Aufgabentext tragen p% der Gesamtbevölkerung eine IBeanie.

    Wenn es jetzt irgendwelche stochastischen Abhängigkeiten zwischen "Ein Wichtel trägt eine IBeanie" und "Ein Wichtel ist infiziert" gäbe, dann würden diese stochastischen Abhängigkeiten im Aufgabentext spezifiziert werden.


    Wie immer gilt die goldene Regel des mathematischen Adventkalenders: Bitte nichts zum Aufgabentext dazu erfinden!

  • Bei dieser Aufgabe sollt eigentlich auch "1. Die Quersumme von p ist 1." korrekt sein, da in der Aufgabe keine Angaben zur Verteilung der Infizierten gemacht weren, sondern nur, dass das Risiko einer Infektion maximal 13 Prozent sein soll. Dabei wurde sogar eingeschränkt, dass nur Begegnungen gelten sollen, bei denen Gesunde auf Kranke treffen (Theoretisch würden Begegnungen unter Gesunden bzw unter Kranken auch nicht zu einer (Neu-)Infektion führen).


    Da das angegeben Risiko aber maximal 13 Prozent betragen soll und keine Einschränkungen bezüglich der Verteilung der Krankheit getroffen wird, muss man auch von einer ungünstigen Verteilung ausgehen und in diesem Fall solle p auch so gewählt werden, dass das Risiko -wenn ein gesunder auf einen kranken trifft- nicht 13 Prozent übersteigt.


    Sei p = 0%, so ist das Risiko immer 100 Prozent, da immer ein Kranker sicher einen Gesunden infiziert.


    Sei 0% < p < 100%, so könnten alle Wichtel mit einer Mütze erkrankt sein, und alle ohne eine Mütze gesund. Dann wäre in diesem Szenario das Risiko einer Infektion wenn ein Kranker auf einen Gesunden trifft immer 50% und damit > 13%. Keines dieser p kann also dazu führen, dass *immer* (also auch bei dieser Verteilung der Krankheit) das "Risikos einer Ansteckung, wenn eine beliebige gesunde Person einer beliebige infizierten Person begegnet, maximal 13 Prozent beträgt".


    Bleibt noch p = 100%, wobei hierbei das Risiko einer Infektion immer 2.5% (< 13%) beträgt, wenn eine kranke Person auf eine gesunde Person trifft.


    Damit wäre ohne Angaben zur Verteilung der Erkrankung unter den Wichtel mit/ohne Mütze die richtige Antwort p = 100% - jedoch denke ich, dass die Aufgabe nicht so gemeint ist, da 2.5% weit entfernt von den gewollten 13% sind. Das "kleinste ganzzahlige p" impliziert auch, dass p eigentlich ein "krummer" Wert ist.


    Von daher kann ich es auch verstehen, dass man es so wie hier gerechnet hat. Aber die Aufgabe sagt halt aus: immer wenn krank auf gesund trifft, soll das Risiko unter 13% sein. Und je nachdem wer krank ist, kann das auch mit p = 83% oder größer nicht garantiert werden.

  • Was wäre denn eine passende Populationsgröße und eine passende Verteilung der Bewohner auf mit/ohne IBeanie bzw. mit/ohne Flöhe, die genau diese Verhältnisse realisieren?

  • Vielleicht sind IBeanie-Träger auch sonst vorsichtigere Wichtel und haben nach Halloween ihre Kontake reduziert, als sie von den Flöhen erfahren haben, und haben so eine geringere Ausgangswahrscheinlichkeit Flöhe zu haben.

    Wenn das der Fall wäre, müsste das in der Aufgabe angegeben sein. Ist es aber nicht, also erfindest Du das gerade hinzu - und einen konkreten Wert für die geringere Wahrscheinlichkeit müsstest Du auch noch erfinden. Warum das Deiner Meinung nach weniger hinzuerfinden sein soll als der Rückschluss, dass mangels weiterer Angaben eine stochastische Abhängigkeit existiert, erschließt sich mir nicht.

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  • Nein, das ist falsch, da ich ja auch keine stochastische Abhängigkeit einfordere. Die Forderung nach stochastischer Unabhängigkeit schränkt hier die Menge der möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein und ist daher die hinzugefügte (hinzuerfundene) Information. Allerdings ist das eine sehr grundlegende Diskussion, mit der ich den Lösungsthread zu dieser Aufgabe ungern überbelasten möchte. Für mich ist es ok zu wissen, dass hier implizit die Unabhängigkeit gelten soll.

  • Die Kontakte spielen für die Aufgabe überhaupt keine Rolle, weil es nur um die Übertragungswahrscheinlichkeit bei einem Kontakt von Infiziertem und Nicht-Infiziertem geht.

    Klar, für die Bearbeitung der Aufgabe stimmt das. Das Argument mit den Kontakten VOR der Ausgangssituation der Aufgabe war auch nur ein Beispiel dafür, warum man Unabhängigkeiten in Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht einfach annehmen darf.

  • Zu einer stochastischen Abhängigkeit zwischen Infizierten und IB Trägern wurde in der Aufgabe nichts gesagt und es wurde mehrfach im Diskussionsforum erklärt, dass es bei der Aufgabe um eine stochastische Aussage basierend auf der (sehr wohl genannten) Gleichverteilung von IB Trägern über die gesamte Einwohnerschaft geht.


    Frage: Habt ihr angenommen, dass "IBeanie tragen" und "Flöhe haben" stochastisch unabhängig sind? Und warum sollte man das tun dürfen?

    Ich tue mich immer noch schwer, da mehr in die Aufgabe rein zu interpretieren. Welche Formulierung führt dazu, dass Du dir über die Verteilung von IB-Trägern in Relation zu Infizierten Gedanken machst?

  • Die Aussagen in dieser Aufgabe werden über den Variablen "trägt (keine) IBeanie" und "ist (nicht) infiziert" getroffen. Das Risiko einer Ansteckung ist abhängig von beiden Größen. Die Variablen stehen also in einem Zusammenhang und deren Unabhängigkeit ist zu argumentieren. Denn im Allgemeinen gilt: Die Unabhängigkeitsannahme erfordert eine Rechtfertigung und nicht umgekehrt die Nicht-Annahme der Unabhängigkeit (was nicht gleichzusetzen ist mit der Abhängigkeitsannahme). Das geringe Risiko der Ansteckung (13% und weniger) soll ja sicherlich in allen Fällen garantiert werden.