18: Zauberleim / Magic Glue

  • Der 1. Karton benötigt Klebstoff für eine Linie von 3/2 Metern, Summe = 1 1/2 m.

    Der 2. Karton benötigt Klebstoff für eine Linie von 7/6 Metern, Summe = 2 2/3 m.

    Der 3. Karton benötigt Klebstoff für eine Linie von 13/12 Metern, Summe = 3 3/4 m.

    Der 4. Karton benötigt Klebstoff für eine Linie von 21/20 Metern, Summe = 4 4/5 m.

    ...

    2020 g Klebstoff reichen für 2020 g/(15 g/m) = 134 2/3 m.


    Der Klebstoff reicht also für 133 Kartons (133 133/134 m) aber nicht für 134 Kartons (134 134/135 m).

  • Ich war im ersten Ansatz auch auf 133 Kartons gekommen, richtig sind aber 134 Kartons!


    Zu dem Zeitpunkt, als die Elfen merken, dass der Zauberleim nicht für alle Pakete ausreicht, haben die Elfen nämlich laut Aufgabenstellung ganz klar bereits eine unbekannte Zahl von Paketen gepackt, d.h. das ersten Paket (k=1) ist bereits verleimt. Die Elfen benötigen die restlichen 2020g Zauberleim also für Pakete ab einem unbekannten Startindex k0>1. Die Krux dabei ist, dass die Zahlen der Aufgabenstellung so geschickt gewählt sind, dass unabhängig von diesem Startindex der Leim auf jeden Fall für genau 134 Kartons ausreicht: wenn mit Karton 1 gestartet werden würde, könnten 133 Kartons verpackt werden, aber schon beim Start mit Karton 2 können 134 Kartons verpackt werden (und es können nie 135 Kartons verpackt werden).

  • Ich habe eine Frage zu der Lösung. Ich habe nämlich die Wurzel aus der Formel (=Seitenlänge) nach x integriert und mit dem Verbrauch und 4 wegen des Umfangs multipliziert. Das ganze habe ich dann gleich 2020 gesetzt. Und dann kam bei mir das Ergebnis, dass der Kleber für 134 reicht und dass man für den 135. zu wenig hat.

    Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Fehler liegt.

    LG

  • Ich war im ersten Ansatz auch auf 133 Kartons gekommen, richtig sind aber 134 Kartons!


    Zu dem Zeitpunkt, als die Elfen merken, dass der Zauberleim nicht für alle Pakete ausreicht, haben die Elfen nämlich laut Aufgabenstellung ganz klar bereits eine unbekannte Zahl von Paketen gepackt, d.h. das ersten Paket (k=1) ist bereits verleimt. Die Elfen benötigen die restlichen 2020g Zauberleim also für Pakete ab einem unbekannten Startindex k0>1. Die Krux dabei ist, dass die Zahlen der Aufgabenstellung so geschickt gewählt sind, dass unabhängig von diesem Startindex der Leim auf jeden Fall für genau 134 Kartons ausreicht: wenn mit Karton 1 gestartet werden würde, könnten 133 Kartons verpackt werden, aber schon beim Start mit Karton 2 können 134 Kartons verpackt werden (und es können nie 135 Kartons verpackt werden).

    Ich habe es exakt genau so! Mir kamen die 133 zu einfach vor, und ich dachte das wäre der Kern der Aufgabe eben erst mit einem späteren Karton zu beginnen. Dass man für jedes andere k eben auf die gleiche Antwort 134 kommt, hat mich darin bestärkt, dass das die gesuchte Lösung ist. Meiner Meinung nach erlaubt die Aufgabenstellung Lücken, also Kartons unverleimt zu lassen. Es muss also auch nicht mit k=1 angefangen werden. Die Frage "Wie viele Kartons können die Elfen mit den 2020 g Zauberleim verschließen?" hätte sonst richtigerweise lauten müssen: "Wie viele Kartons können die Elfen lückenlos beginnend mit dem ersten Karton (k=1) mit den 2020 g Zauberleim verschließen?". Oder übesehe ich was? Ansonsten Einspruch!

  • Ich habe es exakt genau so! Mir kamen die 133 zu einfach vor, und ich dachte das wäre der Kern der Aufgabe eben erst mit einem späteren Karton zu beginnen. Dass man für jedes andere k eben auf die gleiche Antwort 134 kommt, hat mich darin bestärkt, dass das die gesuchte Lösung ist. Meiner Meinung nach erlaubt die Aufgabenstellung Lücken, also Kartons unverleimt zu lassen. Es muss also auch nicht mit k=1 angefangen werden. Die Frage "Wie viele Kartons können die Elfen mit den 2020 g Zauberleim verschließen?" hätte sonst richtigerweise lauten müssen: "Wie viele Kartons können die Elfen lückenlos beginnend mit dem ersten Karton (k=1) mit den 2020 g Zauberleim verschließen?". Oder übesehe ich was? Ansonsten Einspruch!

    Die Aussage "die Elfen müssen die Kartons in absteigender Größe bearbeiten" im Aussagentext könnte natürlich so verstanden werden. Da aber die Reihenfolge, in der die Kartons bearbeitet werden, für deren Anzahl keine Rolle spielt, ergibt diese Interpretation keinen Sinn.

  • Man kann die Aufgabe auch so lösen:


    Wenn man ein wenig mit mit der Summe der Zauberleimmasse für alle n Pakete rumrechnet, kommt man schließlich auf die schöne Formel:

    m(n) = 15 * (n+1 - 1/(n+1))

    Für n = 133 Pakete ergibt sich etwa 2009,89 g Zauberleim. Für n = 134 Pakete hingegen bereits etwa 2024,89 g. Damit stimmt Lösung 7.

  • Ich habe es exakt genau so! Mir kamen die 133 zu einfach vor, und ich dachte das wäre der Kern der Aufgabe eben erst mit einem späteren Karton zu beginnen. Dass man für jedes andere k eben auf die gleiche Antwort 134 kommt, hat mich darin bestärkt, dass das die gesuchte Lösung ist.

    Ja richtig, deshalb sind die Zahlen in der Aufgabenstellung ja auch so geschickt gewählt. Wenn z.B. der Faktor nicht 625 sondern 800 wäre, dann gäbe es keine eindeutige Antwort, denn für einen Startindex zwischen 1 und 27 könnten 118 Pakete verpackt werden, ab einem Startindex von 28 aber 119 Pakete.

  • In der Aufgabe steht doch ganz klar, dass mit A1 begonnen werden muss.

    Ich habe den Aufgabentext mindestens zehnmal gelesen und ich lese immer noch nicht heraus, dass zu dem Zeitpunkt, wo nur noch 2020g Zauberleim vorhanden sind, mit A1 begonnen werden muss. Der Karton A1 wurde schon verwendet, bevor nur noch 2020g Zauberleim vorhanden waren.


    Streng genommen müsste der Karton A1 eigentlich gar nicht verwendet werden, auch das steht im Aufgabentext nicht drin. Der eigentlich Trick der Aufgabe besteht darin, den Karton A1 ganz wegzulassen, damit insgesamt 1 Karton mehr verpackt werden kann.

  • Ich habe den Aufgabentext mindestens zehnmal gelesen und ich lese immer noch nicht heraus, dass zu dem Zeitpunkt, wo nur noch 2020g Zauberleim vorhanden sind, mit A1 begonnen werden muss. Der Karton A1 wurde schon verwendet, bevor nur noch 2020g Zauberleim vorhanden waren.


    Streng genommen müsste der Karton A1 eigentlich gar nicht verwendet werden, auch das steht im Aufgabentext nicht drin. Der eigentlich Trick der Aufgabe besteht darin, den Karton A1 ganz wegzulassen, damit insgesamt 1 Karton mehr verpackt werden kann.

    Mit der Argumentation könntest du ja auch die ersten zehn Kartons weglassen und kämst damit auf noch viel mehr verschließbare Pakete - alleine deshalb kann es so ja nicht gemeint sein, wie solltest du sonst auf eine eindeutige Lösung kommen?

    Die Geschenkpakete sind Würfel von unterschiedlicher Größe. Die Elfen müssen den Leim nur an der Kante der oberen Fläche (ein Quadrat) auftragen. Wir bezeichnen diese Quadrate mit A1, A2, A3, ... [...] die Elfen müssen die Kartons in absteigender Größe bearbeiten.

    Wie man da rauslesen will, dass man Kartons weglassen darf, erschließt sich mir nicht.

    In den Fragen im Forum wurde das auch ausdrücklich nochmal bestätigt, dass mit dem größten Karton zu beginnen ist...

  • Mit der Argumentation könntest du ja auch die ersten zehn Kartons weglassen und kämst damit auf noch viel mehr verschließbare Pakete

    Wenn mit dem 11. Karton begonnen wird, dann können auch genau 134 Pakete verleimt werden, nämlich die Kartons 11 bis 144.

    Du kannst auch mit dem größten Karton beginnen, lässt dann welche unverleimt und verschließt dann bspw. ab dem 32. wieder. Es gibt unendlich viele Lösungen, die auf 134 Kartons kommen.

    Ja, das stimmt. Es können beliebige 134 Kartons verleimt werden, vorausgesetzt, dass Karton A1 nicht verwendet wird. Aber 135 Kartons und mehr sind nicht möglich.