18: Zauberleim / Magic Glue

Also ich sehe das Problem, das Pdwkhpdwln anspricht. Der Gedanke des Überspringens ist mir erst gar nicht gekommen, wird durch die Aufgabestellung aber nicht verboten. Die Geschenke müssen lediglich in absteigender Reihenfolge bearbeitet werden - und das ist ja erfüllt.

Allerdings wurde im Forum genau diese Frage gestellt und daraufhin hieß es "Es dürfen keine Kartons übersprungen werden".

Deshalb muss man leider sagen, dass die Leute, die das Forum gelesen haben, hier im Vorteil sind.

Ich weiß nicht ob das möglich ist, aber ich fände es fair, wenn sowohl 134 als auch 133 als richtig gewertet werden. ( Ariane ? )

DrEGZo schrieb:

Deshalb muss man leider sagen, dass die Leute, die das Forum gelesen haben, hier im Vorteil sind.

Ich weiß nicht ob das möglich ist, aber ich fände es fair, wenn sowohl 134 als auch 133 als richtig gewertet werden. ( Ariane ? )

Ja, das finde ich auch! Übrigens waren auch bei Aufgabe 7 (Tückisches Testdilemma) die Leute im Vorteil, die das Forum gelesen haben. Deshalb sollten auch bei Aufgabe 7 die falschen Antworten als richtig gewertet werden.

DrEGZo schrieb:

Allerdings wurde im Forum genau diese Frage gestellt und daraufhin hieß es "Es dürfen keine Kartons übersprungen werden".

Deshalb muss man leider sagen, dass die Leute, die das Forum gelesen haben, hier im Vorteil sind.

Ich weiß nicht ob das möglich ist, aber ich fände es fair, wenn sowohl 134 als auch 133 als richtig gewertet werden.

Dafür gab es auch mindestens eine Aufgabe bei der die Leute, die die Forumseinträge gelesen haben, im Nachteil waren ...

Da ich gerne (vor allem mit Reihen) rechne, habe ich hier keine Abschätzung gemacht, sondern die Summe der Leimmengen alle addiert (nicht mit der Maschine, sondern als Reihe von Hand): "Klebestrecke" = Umfang des Quadrats

Für die Länge der k. "Klebestrecke" gilt: l(k) = 4*Wurzel(area(Ak)) = 100*Wurzel( 1+ 1/k² + 1/(k+1)²) = 100* Wurzel[ (k² + k + 1)² / (k² * (k+1)² ) ]

Diese Wurzel kann man "ziehen" ==> l(k) = 100*( (k² + k + 1) / (k*(k+1))) = 100*( 1 + 1/(k*(k+1))

Das ergibt eine Leimmasse für jede die k. Klebestrecke: m(k) = 15*(1 + 1/(k*(k+1))

Jetzt wird Aufsummiert von k = 1 bis n und man erhält die Gesamtmasse an Kleber für n Pakete: M(n) = Summe [ 15*(1 + 1/(k*(k+1)) ] = 15*Summe [ 1 + 1/(k*(k+1) ]

= 15*Summe[1] + 15*Summe[ 1/(k*(k+1) ] = 15*n + 15*Summe[ 1/(k*(k+1) ]

Mit 1/(k*(k+1) = 1/k - 1/(k+1) folgt: 15*Summe[ 1/(k*(k+1) ] = 15*Summe [ 1/k - 1/(k+1) ] = 15* ( 1 - 1/(n+1) )

Somit gilt M(n) = 15*n + 15* ( 1 - 1/(n+1) ) = 15*(n+1) - 15/(n+1)

Also suchen wir das größte n aus N für das gilt: M(n) <= 2020

Im Grenzfall ergibt sich folgende Gleichung: 15*(n+1) - 15/(n+1) = 2020 ==> 3*(n+1) - 3/(n+1) = 404

Substitution x = n+1 liefert: 3*x - 3/x = 404 ==> 3*x² - 404*x - 3 = 0

Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen: x_1 = ( 202 + Wurzel( 40813) ) / 3 und x_ 2 = ( 202 - Wurzel( 40813) ) / 3

Da x_2 < 0 ist, ist x_1 die gesuchte Lösung. Es gilt x_1 ist ca. 134,674 ==> n ist ca. 133,674 ==> da n aus N ==> n = 133.

Wie gesagt "ich rechne sehr gern"

wagemich schrieb:

Man kann die Aufgabe auch so lösen:

Wenn man ein wenig mit mit der Summe der Zauberleimmasse für alle n Pakete rumrechnet, kommt man schließlich auf die schöne Formel:

m(n) = 15 * (n+1 - 1/(n+1))

Für n = 133 Pakete ergibt sich etwa 2009,89 g Zauberleim. Für n = 134 Pakete hingegen bereits etwa 2024,89 g. Damit stimmt Lösung 7.

Es geht auch kürzer, aber wenn man gerne rechnet...

Kosakenzipfel schrieb:

....... wagemich schrieb:

Wenn man ein wenig mit mit der Summe der Zauberleimmasse für alle n Pakete rumrechnet, kommt man schließlich auf die schöne Formel:

m(n) = 15 * (n+1 - 1/(n+1))

Ich habe eben das, was wagemich mit "ein wenig herumrechnet" bezeichnet nur ausführlich beschrieben.

Mir ging es auch so:

Pdwkhpdwln schrieb:

Ich war im ersten Ansatz auch auf 133 Kartons gekommen, richtig sind aber 134 Kartons!

Zu dem Zeitpunkt, als die Elfen merken, dass der Zauberleim nicht für alle Pakete ausreicht, haben die Elfen nämlich laut Aufgabenstellung ganz klar bereits eine unbekannte Zahl von Paketen gepackt, d.h. das ersten Paket (k=1) ist bereits verleimt. Die Elfen benötigen die restlichen 2020g Zauberleim also für Pakete ab einem unbekannten Startindex k0>1. Die Krux dabei ist, dass die Zahlen der Aufgabenstellung so geschickt gewählt sind, dass unabhängig von diesem Startindex der Leim auf jeden Fall für genau 134 Kartons ausreicht: wenn mit Karton 1 gestartet werden würde, könnten 133 Kartons verpackt werden, aber schon beim Start mit Karton 2 können 134 Kartons verpackt werden (und es können nie 135 Kartons verpackt werden).

Aus der Aufgabenstellung geht nicht hervor, dass die Definition der Pakete inkl. der Formel für den Leimverbrauch erst ab dem Zeitpunkt gilt, in dem die Elfen festgestellt haben, dass der Leim nicht für alle Pakete ausreicht. Daher bin ich davon ausgegangen, dass diese Beschreibung für alle Pakete gilt und das erste Paket bereits verpackt ist.

Kosakenzipfel schrieb:

Du meinst das ironisch?

In der Aufgabe steht doch ganz klar, dass mit A1 begonnen werden muss. Und zum Glück ging der Leim ja auch erst nach der erstem Milliarde Geschenke aus. Stell dir vor, es hätte weltweit nur 134 Geschenke gegeben.

Das ist m.E. kein Widerspruch zur Aussage oben - es wurde mit dem ersten Karton begonnen, eine beliebige Anzahl Pakete (z.B. eine Milliarde?) verpackt und dann festgestellt, dass der Leim ausgeht. Ab diesem Zeitpunkt können noch 134 weitere Geschenke verpackt werden. Insgesamt also z.B. eine Milliarde und 134. Ob Pakete dazwischen ausgelassen werden können oder nicht, spielt für das Ergebnis keine Rolle.

Pdwkhpdwln schrieb:

Ich habe den Aufgabentext mindestens zehnmal gelesen und ich lese immer noch nicht heraus, dass zu dem Zeitpunkt, wo nur noch 2020g Zauberleim vorhanden sind, mit A1 begonnen werden muss. Der Karton A1 wurde schon verwendet, bevor nur noch 2020g Zauberleim vorhanden waren.

Streng genommen müsste der Karton A1 eigentlich gar nicht verwendet werden, auch das steht im Aufgabentext nicht drin. Der eigentlich Trick der Aufgabe besteht darin, den Karton A1 ganz wegzulassen, damit insgesamt 1 Karton mehr verpackt werden kann.

Die Fee will ihnen natürlich gerne helfen, hat aber nur noch genau 2020 g des Zauberleims übrig. Anstatt in Panik zu geraten, beschließen die Elfen, ihre mathematischen Superkräfte zu nutzen und auszurechnen, wie viele Schachteln sie mit dieser Menge Zauberleim versiegeln können.

[IMG:https://www.mathekalender.de/index.php?page=showImage&documentID=1055]

Die Geschenkpakete sind Würfel von unterschiedlicher Größe. Die Elfen müssen den Leim nur an der Kante der oberen Fläche (ein Quadrat) auftragen. Wir bezeichnen diese Quadrate mit A₁, A₂, A₃, ... Die Elfen wissen, dass die Fläche des Quadrats A_k des k-ten Pakets durch

[IMG:https://www.mathekalender.de/index.php?page=showImage&documentID=1049]

gegeben ist. Aus Effizienzgründen sind die Kartons ineinander gestapelt und die Elfen müssen die Kartons in absteigender Größe bearbeiten. Aus früheren Verpackungserfahrungen wissen die Elfen, dass sie für eine Linie von 1 cm genau 0,15 g Klebstoff benötigen.

Wie viele Kartons können die Elfen mit den 2020 g Zauberleim verschließen?

Frage: Wo steht hier, dass zu den Paketen A₁, A₂, ... die bereits verpackten und versiegelten Pakete dazu gehören?

Wenn die Aufgabe so interpretiert werden sollte, müsste ja auch irgendwo stehen, ab welchem Index die 2020g Leim eingesetzt werden, denn es wird ja ganz klar gefragt, wieviel Pakete mit 2020g Leim verschlossen werden können.

Pdwkhpdwln schrieb:

Die Aufgabe ist einfach ungenau gestellt und lässt zwei verschiedene Interpretationen und damit zwei verschiedene Antworten zu.

Also ich finde die Aufgabe gut und eindeutig gestellt. Wenn für die Berechnung nicht mit dem Paket A1 begonnen werden sollte, hätte es in der Aufgabenstellung stehen müssen. Es steht aber nirgendwo und damit ist klar, dass die Pakete ab A1 mit 2020g Leim verschlossen werden sollen. Es können nur 133 Pakete verleimt werden und damit ist auch nur die Antwort 7 (133 Pakete) richtig.

Pdwkhpdwln schrieb:

Die Zahlen in der Aufgabenstellung sind so geschickt gewählt, dass es keine Rolle spielt, wie viele Pakete in der ersten Phase schon verleimt wurden. Es muss also gar nicht angegeben werden, ab welchem Index die 2020g restlichen Leims eingesetzt werden: ganz unabhängig davon können immer weitere 134 Pakete verleimt werden. Bei anderen numerischen Zahlen wäre das nicht so.

Aha. Ich verstehe das so:

Wenn ich bei A₁ mit 2020g Leim starte komme ich auf 133 Pakete, die vollständig versiegelt werden können. Das angefangene 134. Paket zählt nicht zur Lösung. Wenn ich bei A_i; i>1 beginne, sagst Du es könnten unabhängig von i immer 134 Pakete vollständig versiegelt werden (was mit der Konvergenz dieser speziellen Reihe zu tun hat).

Nunja, also ich hätte die Aufgabe nie und nimmer so verstanden, wie Du und es würde mich dann schon wurmen, wenn deine Interpretation richtig ist und ich wegen so einer Missdeutung daneben liegen würde. Auch wenn es mir jetzt wirklich nicht auf die Lose und Preise ankommt.

Von daher kann ich es jetzt zumindest nachvollziehen.

Das wurde gleich zu Beginn gefragt und beantwortet: #3