18: Zauberleim / Magic Glue

  • Also ich sehe das Problem, das Pdwkhpdwln anspricht. Der Gedanke des Überspringens ist mir erst gar nicht gekommen, wird durch die Aufgabestellung aber nicht verboten. Die Geschenke müssen lediglich in absteigender Reihenfolge bearbeitet werden - und das ist ja erfüllt.


    Allerdings wurde im Forum genau diese Frage gestellt und daraufhin hieß es "Es dürfen keine Kartons übersprungen werden".

    Deshalb muss man leider sagen, dass die Leute, die das Forum gelesen haben, hier im Vorteil sind.

    Ich weiß nicht ob das möglich ist, aber ich fände es fair, wenn sowohl 134 als auch 133 als richtig gewertet werden. ( Ariane ? )

  • Deshalb muss man leider sagen, dass die Leute, die das Forum gelesen haben, hier im Vorteil sind.

    Ich weiß nicht ob das möglich ist, aber ich fände es fair, wenn sowohl 134 als auch 133 als richtig gewertet werden. ( Ariane ? )

    Ja, das finde ich auch! Übrigens waren auch bei Aufgabe 7 (Tückisches Testdilemma) die Leute im Vorteil, die das Forum gelesen haben. Deshalb sollten auch bei Aufgabe 7 die falschen Antworten als richtig gewertet werden.

  • Allerdings wurde im Forum genau diese Frage gestellt und daraufhin hieß es "Es dürfen keine Kartons übersprungen werden".

    Vielen Dank für die Unterstützung! :)


    Bei meiner Interpretation der Aufgabe werden nicht einmal Kartons übersprungen, denn die Kartons 1 bis k0-1 werden in der Phase verleimt, in der die Elfen noch gar nicht bemerkt haben, dass der Zauberleim knapp wird, und danach werden mit den restlichen 2020g Zauberleim die Kartons ab dem Index k0 verleimt. Es werden also keine Kartons übersprungen und da in der ersten Phase mindestens ein Karton verleimt wurde, ist k0>1, d.h. die Summe beginnt bei einem beliebigen Startindex >= 2, so dass genau 134 weitere Pakete verleimt werden können.


    Ich würde also sogar behaupten, dass nur die Lösung 134 richtig ist... ;)


    Aber diese Diskussion ist natürlich aus mathematischer Sicht völlig unergiebig, es geht nur um die Auslegung des Aufgabentextes.

  • Allerdings wurde im Forum genau diese Frage gestellt und daraufhin hieß es "Es dürfen keine Kartons übersprungen werden".

    Deshalb muss man leider sagen, dass die Leute, die das Forum gelesen haben, hier im Vorteil sind.

    Ich weiß nicht ob das möglich ist, aber ich fände es fair, wenn sowohl 134 als auch 133 als richtig gewertet werden.

    Dafür gab es auch mindestens eine Aufgabe bei der die Leute, die die Forumseinträge gelesen haben, im Nachteil waren ...

  • Da ich gerne (vor allem mit Reihen) rechne, habe ich hier keine Abschätzung gemacht, sondern die Summe der Leimmengen alle addiert (nicht mit der Maschine, sondern als Reihe von Hand): "Klebestrecke" = Umfang des Quadrats


    Für die Länge der k. "Klebestrecke" gilt: l(k) = 4*Wurzel(area(Ak)) = 100*Wurzel( 1+ 1/k² + 1/(k+1)²) = 100* Wurzel[ (k² + k + 1)² / (k² * (k+1)² ) ]

    Diese Wurzel kann man "ziehen" ==> l(k) = 100*( (k² + k + 1) / (k*(k+1))) = 100*( 1 + 1/(k*(k+1))


    Das ergibt eine Leimmasse für jede die k. Klebestrecke: m(k) = 15*(1 + 1/(k*(k+1))

    Jetzt wird Aufsummiert von k = 1 bis n und man erhält die Gesamtmasse an Kleber für n Pakete: M(n) = Summe [ 15*(1 + 1/(k*(k+1)) ] = 15*Summe [ 1 + 1/(k*(k+1) ]

    = 15*Summe[1] + 15*Summe[ 1/(k*(k+1) ] = 15*n + 15*Summe[ 1/(k*(k+1) ]


    Mit 1/(k*(k+1) = 1/k - 1/(k+1) folgt: 15*Summe[ 1/(k*(k+1) ] = 15*Summe [ 1/k - 1/(k+1) ] = 15* ( 1 - 1/(n+1) )


    Somit gilt M(n) = 15*n + 15* ( 1 - 1/(n+1) ) = 15*(n+1) - 15/(n+1)


    Also suchen wir das größte n aus N für das gilt: M(n) <= 2020

    Im Grenzfall ergibt sich folgende Gleichung: 15*(n+1) - 15/(n+1) = 2020 ==> 3*(n+1) - 3/(n+1) = 404

    Substitution x = n+1 liefert: 3*x - 3/x = 404 ==> 3*x² - 404*x - 3 = 0

    Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen: x_1 = ( 202 + Wurzel( 40813) ) / 3 und x_ 2 = ( 202 - Wurzel( 40813) ) / 3

    Da x_2 < 0 ist, ist x_1 die gesuchte Lösung. Es gilt x_1 ist ca. 134,674 ==> n ist ca. 133,674 ==> da n aus N ==> n = 133.


    Wie gesagt "ich rechne sehr gern" ;)

  • Man kann die Aufgabe auch so lösen:


    Wenn man ein wenig mit mit der Summe der Zauberleimmasse für alle n Pakete rumrechnet, kommt man schließlich auf die schöne Formel:

    m(n) = 15 * (n+1 - 1/(n+1))

    Für n = 133 Pakete ergibt sich etwa 2009,89 g Zauberleim. Für n = 134 Pakete hingegen bereits etwa 2024,89 g. Damit stimmt Lösung 7.

    Es geht auch kürzer, aber wenn man gerne rechnet... :-)

  • Mir ging es auch so:

    Ich war im ersten Ansatz auch auf 133 Kartons gekommen, richtig sind aber 134 Kartons!


    Zu dem Zeitpunkt, als die Elfen merken, dass der Zauberleim nicht für alle Pakete ausreicht, haben die Elfen nämlich laut Aufgabenstellung ganz klar bereits eine unbekannte Zahl von Paketen gepackt, d.h. das ersten Paket (k=1) ist bereits verleimt. Die Elfen benötigen die restlichen 2020g Zauberleim also für Pakete ab einem unbekannten Startindex k0>1. Die Krux dabei ist, dass die Zahlen der Aufgabenstellung so geschickt gewählt sind, dass unabhängig von diesem Startindex der Leim auf jeden Fall für genau 134 Kartons ausreicht: wenn mit Karton 1 gestartet werden würde, könnten 133 Kartons verpackt werden, aber schon beim Start mit Karton 2 können 134 Kartons verpackt werden (und es können nie 135 Kartons verpackt werden).

    Aus der Aufgabenstellung geht nicht hervor, dass die Definition der Pakete inkl. der Formel für den Leimverbrauch erst ab dem Zeitpunkt gilt, in dem die Elfen festgestellt haben, dass der Leim nicht für alle Pakete ausreicht. Daher bin ich davon ausgegangen, dass diese Beschreibung für alle Pakete gilt und das erste Paket bereits verpackt ist.

    Du meinst das ironisch?

    In der Aufgabe steht doch ganz klar, dass mit A1 begonnen werden muss. Und zum Glück ging der Leim ja auch erst nach der erstem Milliarde Geschenke aus. Stell dir vor, es hätte weltweit nur 134 Geschenke gegeben.

    Das ist m.E. kein Widerspruch zur Aussage oben - es wurde mit dem ersten Karton begonnen, eine beliebige Anzahl Pakete (z.B. eine Milliarde?) verpackt und dann festgestellt, dass der Leim ausgeht. Ab diesem Zeitpunkt können noch 134 weitere Geschenke verpackt werden. Insgesamt also z.B. eine Milliarde und 134. Ob Pakete dazwischen ausgelassen werden können oder nicht, spielt für das Ergebnis keine Rolle.

  • Ich habe den Aufgabentext mindestens zehnmal gelesen und ich lese immer noch nicht heraus, dass zu dem Zeitpunkt, wo nur noch 2020g Zauberleim vorhanden sind, mit A1 begonnen werden muss. Der Karton A1 wurde schon verwendet, bevor nur noch 2020g Zauberleim vorhanden waren.


    Streng genommen müsste der Karton A1 eigentlich gar nicht verwendet werden, auch das steht im Aufgabentext nicht drin. Der eigentlich Trick der Aufgabe besteht darin, den Karton A1 ganz wegzulassen, damit insgesamt 1 Karton mehr verpackt werden kann.

    Die Fee will ihnen natürlich gerne helfen, hat aber nur noch genau 2020 g des Zauberleims übrig. Anstatt in Panik zu geraten, beschließen die Elfen, ihre mathematischen Superkräfte zu nutzen und auszurechnen, wie viele Schachteln sie mit dieser Menge Zauberleim versiegeln können.

    [IMG:https://www.mathekalender.de/index.php?page=showImage&documentID=1055]

    Die Geschenkpakete sind Würfel von unterschiedlicher Größe. Die Elfen müssen den Leim nur an der Kante der oberen Fläche (ein Quadrat) auftragen. Wir bezeichnen diese Quadrate mit A1, A2, A3, ... Die Elfen wissen, dass die Fläche des Quadrats Ak des k-ten Pakets durch

    [IMG:https://www.mathekalender.de/index.php?page=showImage&documentID=1049]

    gegeben ist. Aus Effizienzgründen sind die Kartons ineinander gestapelt und die Elfen müssen die Kartons in absteigender Größe bearbeiten. Aus früheren Verpackungserfahrungen wissen die Elfen, dass sie für eine Linie von 1 cm genau 0,15 g Klebstoff benötigen.

    Wie viele Kartons können die Elfen mit den 2020 g Zauberleim verschließen?




    Frage: Wo steht hier, dass zu den Paketen A1, A2, ... die bereits verpackten und versiegelten Pakete dazu gehören?


    Wenn die Aufgabe so interpretiert werden sollte, müsste ja auch irgendwo stehen, ab welchem Index die 2020g Leim eingesetzt werden, denn es wird ja ganz klar gefragt, wieviel Pakete mit 2020g Leim verschlossen werden können.

  • Frage: Wo steht hier, dass zu den Paketen A1, A2, ... die bereits verpackten und versiegelten Pakete dazu gehören?

    Die Aufgabe ist einfach ungenau gestellt und lässt zwei verschiedene Interpretationen und damit zwei verschiedene Antworten zu.


    Die Aussagen zu den Geschenkpaketen beziehen sich auf alle Geschenkpakete: Die Geschenkpakete sind Würfel von unterschiedlicher Größe etc. Hier steht nicht, dass sich die Aussage nur auf die restlichen Pakete beschränkt und das sollte auch nicht zusätzlich in die Aufgabe hinein interpretiert werden. :)


    Die Elfen füllen Geschenkkartons mit Spielzeug und versiegeln diese mit dem Zauberleim der Fee. Nach einer Weile merken die Elfen plötzlich, dass der Zauberleim aufgebraucht ist, bevor alle Pakete fertig gepackt und versiegelt sind. Deshalb bitten sie ihre Feenfreundin erneut um Hilfe. Die Fee will ihnen natürlich gerne helfen, hat aber nur noch genau 2020 g des Zauberleims übrig.


    Meine Interpretation: zuerst versiegeln die Elfen Kartons mit Zauberleim. Nach einer Weile (also wenn also schon eine unbekannte Zahl Kartons versiegelt ist), merken sie, dass der Zauberleim nicht mehr für alle Pakete reicht. Zu diesem Zeitpunkt sind nur noch 2020g des Zauberleims übrig. Es geht also darum, wie viele Kartons mit den restlichen 2020g Leim versiegelt werden können.


    Wenn die Aufgabe so interpretiert werden sollte, müsste ja auch irgendwo stehen, ab welchem Index die 2020g Leim eingesetzt werden, denn es wird ja ganz klar gefragt, wieviel Pakete mit 2020g Leim verschlossen werden können.

    Die Zahlen in der Aufgabenstellung sind so geschickt gewählt, dass es keine Rolle spielt, wie viele Pakete in der ersten Phase schon verleimt wurden. Es muss also gar nicht angegeben werden, ab welchem Index die 2020g restlichen Leims eingesetzt werden: ganz unabhängig davon können immer weitere 134 Pakete verleimt werden. Bei anderen numerischen Zahlen wäre das nicht so.


    Aber diese Diskussion ermüdet mich langsam und sie ist mathematisch uninteressant. Aus meiner Sicht gibt es nur einen Ausweg aus dem Dilemma: es müssen beide Antworten (133 und 134) als richtig angesehen werden (ich bin ja auch nicht der einzige, der so gedacht hat).

  • Die Aufgabe ist einfach ungenau gestellt und lässt zwei verschiedene Interpretationen und damit zwei verschiedene Antworten zu.

    Also ich finde die Aufgabe gut und eindeutig gestellt. Wenn für die Berechnung nicht mit dem Paket A1 begonnen werden sollte, hätte es in der Aufgabenstellung stehen müssen. Es steht aber nirgendwo und damit ist klar, dass die Pakete ab A1 mit 2020g Leim verschlossen werden sollen. Es können nur 133 Pakete verleimt werden und damit ist auch nur die Antwort 7 (133 Pakete) richtig.

  • Die Zahlen in der Aufgabenstellung sind so geschickt gewählt, dass es keine Rolle spielt, wie viele Pakete in der ersten Phase schon verleimt wurden. Es muss also gar nicht angegeben werden, ab welchem Index die 2020g restlichen Leims eingesetzt werden: ganz unabhängig davon können immer weitere 134 Pakete verleimt werden. Bei anderen numerischen Zahlen wäre das nicht so.

    Aha. Ich verstehe das so:

    Wenn ich bei A1 mit 2020g Leim starte komme ich auf 133 Pakete, die vollständig versiegelt werden können. Das angefangene 134. Paket zählt nicht zur Lösung. Wenn ich bei Ai; i>1 beginne, sagst Du es könnten unabhängig von i immer 134 Pakete vollständig versiegelt werden (was mit der Konvergenz dieser speziellen Reihe zu tun hat).


    Nunja, also ich hätte die Aufgabe nie und nimmer so verstanden, wie Du und es würde mich dann schon wurmen, wenn deine Interpretation richtig ist und ich wegen so einer Missdeutung daneben liegen würde. Auch wenn es mir jetzt wirklich nicht auf die Lose und Preise ankommt.

    Von daher kann ich es jetzt zumindest nachvollziehen.