12: Frosch und Kröte / Frog and Toad

  • Hallo allerseits,


    habe ich das also richtig verstanden, dass die Wahrscheinlichkeiten der beiden Kröten vollkommen irrelevant für die Lösung sind? Man könnte ihnen also alle beliebige Wahrscheinlichkeiten (also z.B. F->0.1&0.9 und K->0.4&0.6) zuweisen?


    Viele Grüße,

    Chonn

  • habe ich das also richtig verstanden, dass die Wahrscheinlichkeiten der beiden Kröten vollkommen irrelevant für die Lösung sind? Man könnte ihnen also alle beliebige Wahrscheinlichkeiten (also z.B. F->0.1&0.9 und K->0.4&0.6) zuweisen?

    Nein, die Wahrscheinlichkeiten müssen für alle Zeitpunkte t proportional zueinander sein, bei der Aufgabe ist der Faktor 2100, bei dem Beispiel von marac ist er 10:

    p(F, t) ~ p(K, t)

  • Wie schon Georg schrieb, muss die Proportionalität erhalten bleiben. Statt 1/3 und 2/3 könnte man aber natürlich ganz andere Wahrscheinlichkeiten wählen (müssen aber für BEIDE gleich sein). Allgemein also: Rechtssprung für beide p (0<p<1). Damit Linkssprung 1-p.


    (Der Fall Rechtssprung für den einen p und für den anderen 1-p (damit p nach links) ist trivial, da dann offensichtliche Symmetrie herrscht)


    Beispiel p=1/10. Hier wäre der Prop.faktor dann 9^100. Liegt daran, dass für einen bestimmten Zeitpunkt t (t gerade und größer gleich 100) sich die Wahrscheinlichkeiten nur um genau 9^100 unterscheiden:


    Bsp t=106 bedeutet doch für beide neben den 100 Sprüngen mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit (Kriehmhilde 100 nach rechts: (1/10)^100 versus Fridolin nach links: (9/10)^100) -> Faktor 9^100), sind die übrigen Faktoren gleich: beide springen noch 3 mal nach rechts und 3 mal nach links, zudem gibt es aus Symmetriegründen (beide gleichweit entfernt von der Null) genau gleich viele Wege/Pfade zum ersten mal nach 106 Sekunden auf die Null zu kommen. Wir nannten diese Zahl n(x). Für die Aufgabenlösung ist n(x) aber völlig irrelevant. Einige im Forum interessierten sich dennoch eine geschlossene Formel, die ja auch von zwei Forumsmitgliedern gefunden wurde.

  • Chonn, ein kleiner Nachtrag noch zu meinem Beitrag eben. n(x): Anzahl der Pfade ist ja durch den symmetrischen Start bei beiden immer genau gleich! Völlig egal wie man die W-keiten der beiden wählt.


    Der Knackpunkt sind die "Zusatzsprünge" bei dem Beispiel von eben: t=106: neben den notwendigen 100 Sprüngen: 6 Zusatzsprünge (3 nach links und 3 nach rechts). Wenn beide nun mit W-keit p nach rechts springen, ergibt sich GENAU DER GLEICHE Zusatzfaktor: (p*(1-p))^3
    Würde man die W-keiten völlig beliebig wählen, wäre dies nicht der Fall!

  • Warum?

    Die proportionalität bleibt doch auch wenn zB Krimhilde mit 0.1/0.9 und Fridolin mit 0.8/0.2 springt.

    Nein das klappt nicht, siehe meinen Beitrag #64: Der "Zusatzfaktor" für Zusatzsprünge (Sprünge über hundert, die hin und her gehen). Dieser Faktor ist bei den beiden dann verschieden und somit geht die Proportionalität flöten! Geht die Proportionalität aber flöten entstehen beim "Hochziehen auf 100% (also der Zusatzbedingung: sie kommen im Laufe des Tages an) verschieden Wahrscheinlichkeitsverteilungen, dann ist p auch nicht mehr 0,5.


    Das sieht man schon an den ersten beiden Wahrscheinlichkeiten: nach 100 und 102 Sek auf die Null zukommen. Wir betrachten also jetzt zunächst die Wahrscheinlichkeit nach t Sek auf die Null zu springen, ohne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie sicher ankommen!


    Nehmen wir das Bsp von Kosakenzipfel: K: 0.1/0.9 und F: 0.8/0.2 (rechts/links). K auf -100, F auf +100

    Man erkennt in unten stehender Tabelle schon nach zwei Zeitpunkten, dass keine Proportionalität vorliegt (Quotient müsste konstanter Wert sein, ist es aber nicht): 0.1* 0.9 ist eben nicht das gleiche wie 0.2*0.8. Sprich es geht nur falls K: p / 1-p und F: p / 1-p (bzw F dann1-p/p: das ist aber trivial, da komplett symmetrisch)


    tpF_t
    pK_tQuotient pF_t / pK_t
    1001* 0.2^100
    1 * 0.1^1002^100
    102100 * 0.2^100 * (0.2*0.8)^1
    100 * 0.1^100 * (0.1*0.9)^1
    2^100 * 16/9

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  • Wie versprochen meine Simulation ähnlich einem nichtdeterministischer Endlichen Automaten:

    Ich hoffe das ist verständlich, sonst fragt.
    Keine Garantie auf irgendwas.


    Sprache ist python3


    Edit:

    ich fürchte gleichzeitiges ankommen wird als Krimhilde zuerst gewertet...

  • Warum habe ich in der Aufgabenstellung gelesen, dass Kriemhilde lieber weg von der 0 springt. Dagegen Friedolin lieber in Richtung der Null und damit das System überhaupt nicht symmetrisch ist?

    Das System an sich ist nicht symmetrisch. Es wird aber symmetrisch, wenn man die bedingten Wahrscheinlichkeiten nimmt, nämlich die Bedingung, dass sowohl Fridolin als auch Kriemhilde an diesem Tag die 0 erreichen.
    Man muss dazu die einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Kriemhilde bzw. Fridolin erreicht die 0 zum Zeitpunkt t) durch die Wahrscheinlichkeit "Kriemhilde bzw. Fridolin erreicht die 0 irgendwann an dem Tag) dividieren. Bei Kriemhilde sind die einzelnen Wahrscheinlichkeiten um den Faktor 1/2^100 kleiner als bei Fridolin. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, durch die dividiert wird aber auch. Dadurch sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten bei Fridolin und bei Kriemhilde jeweils gleich groß.

  • Das System an sich ist nicht symmetrisch. Es wird aber symmetrisch, wenn man die bedingten Wahrscheinlichkeiten nimmt, nämlich die Bedingung, dass sowohl Fridolin als auch Kriemhilde an diesem Tag die 0 erreichen.
    Man muss dazu die einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Kriemhilde bzw. Fridolin erreicht die 0 zum Zeitpunkt t) durch die Wahrscheinlichkeit "Kriemhilde bzw. Fridolin erreicht die 0 irgendwann an dem Tag) dividieren. Bei Kriemhilde sind die einzelnen Wahrscheinlichkeiten um den Faktor 1/2^100 kleiner als bei Fridolin. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, durch die dividiert wird aber auch. Dadurch sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten bei Fridolin und bei Kriemhilde jeweils gleich groß.


    Aah Danke!. Jetzt verstehe ich eure Symmetrie-Idee!

    Aber muss man nicht beide durch P(beide erreichen am selben Tag das Ziel) teilen?

  • Was ich meine:

    Man muss dazu die einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Kriemhilde bzw. Fridolin erreicht die 0 zum Zeitpunkt t) durch die Wahrscheinlichkeit "Kriemhilde bzw. Fridolin erreicht die 0 irgendwann an dem Tag) dividieren.

    Klingt nach:

    P(K erreicht 0 bei t|K erreicht 0 heute) = P(F erreicht 0 bei t|F erreicht 0 heute)

    Ich denke:

    P(K erreicht 0 bei t|K+F erreichen 0 heute) != P(F erreicht 0 bei t|K+F erreichen 0 heute)

    Damit wäre aber:

    Bei Kriemhilde sind die einzelnen Wahrscheinlichkeiten um den Faktor 1/2^100 kleiner als bei Fridolin. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, durch die dividiert wird aber auch. Dadurch sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten bei Fridolin und bei Kriemhilde jeweils gleich groß.

    hinfällig da P(K+F erreichen 0 heute) für F und K gleich ist

  • Warum P(K erreicht 0 bei t|K+F erreichen 0 heute) != P(F erreicht 0 bei t|K+F erreichen 0 heute)? Die Ereignisse "K erreicht 0 bei t" und "F erreicht 0 heute" sind doch unabhängig.