13: T-Shirts / T-shirts

  • Nennen wir die Zahlen auf den Shirts mit a_1 bis a_16. Dann gilt:

    a_1 + a_2 < a_3

    a_2 + a_3 < a_4

    ....

    a_15 + a_16 < a_1

    a_16 + a_1 < a_2

    Addieren wir all diese Ungleichungen, fällt auf: 2* Summe a_1 bis a_16 < Summe a_1 bis a_16, also muss die Gesamtsumme aller Zahlen offensichtlich negativ sein.

    Des weiteren fällt auf: es können keine 2 positiven Zahlen nebeneinander liegen, denn wäre a_1> 0 und a_2 >0 , so wäre dann auch jede weitere Zahl >0.

    Nun versucht man also 8 positive und 8 negative Zahlen abwechselnd nebeneinander zu bilden. Sei also a_1, a_3, a_5 .... a_15 < 0 und a_2, a_4 .... a_16 >0. Dann gilt wegen a_1 + a_2 < a_3 auch: a_1 <a_3 und analog: a_3 < a_5 < a_7 <a_9 < a_11 < a_13 < a_15 und a_15 <a_1 aufgrund des Kreises, was zum Widerspruch führt, sodass nur maximal 7 positive Zahlen verteilt werden können. Das dies tatsächlich möglich ist, lässt sich leicht mit einem Beispiel verifizieren:

    a_2 = a_4 =... = a_14 = 1 und a_1 = - 1000 , a_3 = -998, a_5 = -996, a_7 = -994 , a_9 = -992, a_11 = -990, a_13 = -988, a_15 = -986, a_16 = -100.

  • Mit betragsmäßig kleinsten Zahlen:

    1, -29, 1, -27, 1, -25, 1, -23, 1, -19, 1, -17, -15, -31


    aber es geht auch mit komplett unterschiedlichen Zahlen auf den T-Shirts:

    1, -150, 2, -140, 3, -130, 4, -120, 5, -110, 6, -100, 7, -90, -80, -160

  • Wenn zwei nebeneinander steh'n,

    müssen sie dann das gleiche seh'n?

    Das kann bekanntlich nur gelingen,

    wenn "rechts" und "links" sie einig singen.

    Der Blick nach außen und nach innen

    birgt häufig ein ganz neu Besinnen.


    16 Wichtel stehen im Kreis.

    Auf ihren T-Shirts haben sie 12 positive und 4 negative Zahlen aufgedruckt:

    15 9 5 3 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 3 5 9 15  
    Die beiden äußeren "15" müssen unten zusammengeführt werden, um den Kreis zu schließen.

    Die Wichtel mit blauen Zahlen schauen im Kreis nach innen.

    Die Wichtel mit roten Zahlen schauen aus dem Kreis nach außen.

    Die beiden Wichtel mit der "15" stehen jeweils rechts voneinander.

  • Die Aufgabenstellung lässt das zu. Allerdings wird dies implizit durch die Antwort #7 von WoegingerG auf die Frage nach der Definition von den beiden linken Nachbarn ausgeschlossen.

  • Das wäre aber meiner Meinung nach im Widerspruch zu den Spielregeln: "Die Aufgaben sind immer eindeutig lösbar. Es gibt keine Tricks."

    Derartige Fallen sind meiner Erfahrung nach nicht in die Aufgaben eingebaut.

  • Die Aufgabenstellung lässt das zu. Allerdings wird dies implizit durch die Antwort #7 von WoegingerG auf die Frage nach der Definition von den beiden linken Nachbarn ausgeschlossen.

    Allerdings bezieht sich die Antwort von WoegingerG auf das in der Frage genannte Beispiel der Uhr. Jegliche weitere Ausführung wäre dann ja mehr als ein "Lösungshinweis" gewesen. Sofern es sich hier um eine von den Aufgabenstellern als notwendig gedachte Präzisierung der Aufgabenstellung gehandelt hätte, hätte ich schon eine entsprechende Bemerkung in der Zusammenfassung oder der Aufgabe selbst erwartet.


    Mir ist es letztendlich egal und ich freue mich über "meine" Lösung. (Ärgere mich allenfalls ein wenig, dass ich während meiner Lösungsfindung durch Probieren zwar auch zwischenzeitlich mal eine Lösung mit 7 positiven Zahlen hatte, diese aber wieder verworfen habe. Da ich nicht auf so eine elegante Herleitung und Beweisführung wie 2020 in #2 gekommen bin, habe ich nach diesen mickrigen 7 eben weiter sinniert, ob nicht noch mehr gehen könnte.

  • Das wäre aber meiner Meinung nach im Widerspruch zu den Spielregeln: "Die Aufgaben sind immer eindeutig lösbar. Es gibt keine Tricks."

    Derartige Fallen sind meiner Erfahrung nach nicht in die Aufgaben eingebaut.

    Stimmt. Wenn man das hätte erlauben wollen, hätte der linke Nachbar über die Blickrichtung o. ä. definiert werden müssen.