14: Der verwirrte Weihnachtsmann / Clumsy Santa is Coming to Town

  • Ich kannte es tatsächlich auch mit Flugzeug und Bordkarten. Das im Spiegel hatte ich damals auch gelesen, ich weiß aber nicht mehr, ob ich es ursprünglich von dort hatte oder von woanders.


    Auch der Mathekalender hatte bereits mal eine Aufgabe in diese Richtung

    Aufgabe 14 2017

    https://www.mathekalender.de/info/Loesungsheft_2017.pdf

    Damals hatte ich einfach nur die ersten Zeilen gelesen und mir dann gesagt "Ach das Rätsel kenne ich schon, die Lösung ist 1/2." Voll in die Falle getappt. :D

  • Ich musste bei dieser Aufgabe unwillkürlich an einen meiner Schüler (vor vielen Jahren) denken. Am Ende einer Gruppenarbeit wurde per Los bestimmt, wer die Gruppenergebnisse präsentieren muss (darf). Da es vier Schüler in der Gruppe waren, zog jeder Schüler eine von vier Karten (unter denen genau ein As war) und derjenige der das As zog musste (durfte) präsentieren. Als ich an den Tisch kam und die vier Karten mischte, wollte einer der Schüler unbedingt als erster Ziehen.

    Als ich ihn fragte warum denn, da entgegnete er: "Ja als Erster ist die Chance das As zu ziehen 1:4 und wenn ich als dritter ziehe 1:2".

    Er durfte natürlich als erster ziehen und zog prompt das As. Einige Wochen später hat er dann im Rahmen des Stochastikunterrichts eingesehen, dass es völlig egal ist, an welcher Stelle man zieht. :)    

  • Ich musste bei dieser Aufgabe unwillkürlich an einen meiner Schüler (vor vielen Jahren) denken. Am Ende einer Gruppenarbeit wurde per Los bestimmt, wer die Gruppenergebnisse präsentieren muss (darf). Da es vier Schüler in der Gruppe waren, zog jeder Schüler eine von vier Karten (unter denen genau ein As war) und derjenige der das As zog musste (durfte) präsentieren. Als ich an den Tisch kam und die vier Karten mischte, wollte einer der Schüler unbedingt als erster Ziehen.

    Als ich ihn fragte warum denn, da entgegnete er: "Ja als Erster ist die Chance das As zu ziehen 1:4 und wenn ich als dritter ziehe 1:2".

    Er durfte natürlich als erster ziehen und zog prompt das As. Einige Wochen später hat er dann im Rahmen des Stochastikunterrichts eingesehen, dass es völlig egal ist, an welcher Stelle man zieht. :)    

    Erstaunlich, dass der Schüler nach dieser Überlegung als erster ziehen wollte.

    Als vierter wäre seine Chance, das Ass zu ziehen, doch 1:1 gewesen. ;)

  • Vielleicht mache ich aber einen ähnlichen Denkfehler wie obig belächelter Schüler. Wenn ich ehrlich bin, ist nämlich nicht nur der Weihnachtsmann verwirrt. - Ich bin es auch.

    Voller Überzeugung habe ich die Antwortmöglichkeit 1 angekreuzt:

    Wichtel Roland ist sich sicher: „Solange der Weihnachtsmann nicht aus Versehen dem letzten Kind auf der Liste sein Geschenk gibt, hat Eleonora nichts zu befürchten.“


    Meine Überlegung war dabei die folgende:

    Der Weihnachtsmann gibt versehentlich dem Kind mit dem Listenplatz n das Geschenk.

    Die nun folgenden Wichtel sollen laut Aufgabe dem "richtigen" Kind ein Geschenk überreichen.

    Entsprechend der bereits im Forum kritisierten Priorisierung nach Grad der Neugier würde also nun Oberwichtel Rebekka dem vom Weihnachtsmann übergangenen Kind auf Listenplatz 1 das Geschenk überreichen.

    Wichtel Jonathan würde dem nun neugierigsten Kind auf Listenplatz 2, das nicht von Rebekka beschenkt wurde, das Geschenk überreichen.

    Das geht weiter bis zu dem Kind auf Listenplatz n-1, das sein Geschenk von dem Wichtel erhält, der ursprünglich für den nun vom Weihnachtsmann bedienten Listenplatz n zuständig war.

    Erst ab Listenplatz n+1 und somit auch für Wichtel Eleonora können alle Wichtel die Geschenke wieder wie ursprünglich vorgesehen überreichen.

    Die im Aufgabentext genannte Option der zufälligen Auswahl eines Kindes durch die Wichtel erfolgt nie, da die bestens organisierten Wichtel schließlich immer dem "richtigen" Kind ein Geschenk überreichen.


    Vor diesem gedanklichen Hintergrund wird meine Verwirrung bezüglich der in der Aufgabe grün markierten Antwortmöglichkeit 8 vielleicht verständlich: Wichtel Kristina lacht: „Ich weiß gar nicht, was ihr habt. Die Wahrscheinlichkeit ist doch einfach 1/2.“

  • Die Wichtel bleiben bei ihrem Kind. Das vom Weihnachtsmann übergangen Kind muss auf den zufall warten. Der erste Wichtel überreicht sein Geschenk nämlich dem zweitneugierigsten Kind und so weiter. Also wichtel#n an kind#n+1, ausser das hat schon ein Geschenk. Erst dann muss der Wichtel per Zufall sein Geschenk vergeben.

  • Ich versuche einmal die Verwirrung etwas zu entwirren. Es gibt zunächst eine eindeutige Zuordnung zwischen Wichtel und Kind. Weihnachtsmann ==> Kind 1

    Rebekka ==> Kind 2 usw. Eleonara ==> Kind 100. Würde also der Weihnachtsmann zufällig dem Kind 1 das Geschenk geben, dann wäre alles im Lot, die Kinder würden alle wie vorgesehen ihr Geschenk vom zugeordneten Wichtel bekommen. Wenn jetzt aber der Weihnachtsmann z.B. dem Kind 17 das Geschenk gibt. Dann geben die nächsten 15 Wichtel so wie vorgesehen, den Kindern 2 bis 16 ihre vorgesehenen Geschenke. Jetzt kommt Wichtel 17, er kann dem Kind 17 sein Geschenk nicht geben, denn es hat schon eins vom Weihnachtsmann bekommen. Also wählt Wichtel 17 zufällig ein anderes Kind aus der Menge { Kind 1; Kind 18 ; ....; Kind 100 } aus. Wählt er zufällig Kind 1, dann würde ab jetzt wieder alles seinen vorgesehenen Gang gehen. Wählt er aber z.B. Kind 42 ;), dann geht das "Spiel" vom neuen los .....

  • Ich hätte auch noch ne grafische (und damit recht anschauliche) Lösung, und zwar hier: https://imgur.com/a/dwPafQh

    Dazu folgende Erläuterung:

    Die Flächen sollen Wahrscheinlichkeiten repräsentieren (stellt es euch wie eine Dart-Scheibe vor).

    Es kommt nur auf 2 Ereignisse an:

    1) jemand gibt zufällig dem neugierigsten Kind (also Santas Kind) das Geschenk

    2) jemand gibt zufällig Eleonoras Kind (das am wenigsten neugierige Kind) das Geschenk


    Tritt der erste Fall ein, geht die ganze Sache wieder auf und Eleonora kann ihrem Kind das Geschenk geben.

    Tritt der zweite Fall ein, scheitert die Sache und Eleonora muss es einem anderen Kind geben.


    Wichtig ist hierbei: jedes Mal, wenn eine zufällige Wahl ansteht, ist die Wahrscheinlichkeit, Santas Kind zu wählen, genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, Eleonoras Kind zu wählen!

    Die Grafik zeigt hierbei, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung aussieht, wenn Fall 1, Fall 2 oder keiner von beiden Eintritt, woraufhin die Entscheidung an einen der nächsten Wichtel delegiert wird. Es wird sehr gut erkenntlich: Die Wahrscheinlichkeit, dass Fall 1 oder 2 eintritt (was früher oder später passieren muss!) bleibt immer gleich. Am Ende ist man bei 50:50.


    Ich habe bei der Grafik einen kleinen Fehler gemacht - falls es jemandem auffällt:

  • Ich bin jetzt leider kein ausgewiesener Mathematiker und kann die vollständige Induktion nicht sauber durchziehen, aber meine Argumentation läuft darauf hinaus:

    Für n=2 ist der Fall klar: p=1/2.

    Wenn die Aussage p=1/2 für (n-1) Kinder gilt dann entscheidet sich der W'mann bei n Kindern mit der W'keit von 1/n für sein "richtiges" Kind, mit der W'keit von 1/n für Eleonoras Kind und mit der restlichen W'keit von (n-2)/n für eins der anderen Kinder. In diesem Fall hätten wir nur noch n-1 Kinder und dafür wäre die W'keit wie angenommen 1/2.

    Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Kindern Eleonora ihrem Kind das Geschenk überreichen kann zu:

    p= 1/n + (n-2)/n * 1/2 = 2/2n + (n-2)/2n = n/2n = 1/2.


    Ok, es ist nicht ganz sauber argumentiert, da bei (n-1) Kindern nicht automatisch wieder der erste Wichtel zufällig auswählt, sondern erst einmal einige "ihre" Kinder beschenken könnten. Somit könnte man sagen, dass nicht ganz die gleiche Situation vorliegt.

    Aber ich hoffe, meine Idee dabei ist klar geworden...

  • Das war auch mein Ansatz (nach vielen Rechnungen für kleine n), aber gute Grafik!