Definition des Begriffs "Plätzchenempfehlung"

  • Ich denke, dass die Definition der Plätzchenempfehlung fehlerhaft ist. In der Aufgabe wird es als eine Variable x aus {0,1} definiert. Das definiert allerdings das Plätzchen nicht. Also sollte x aus {1,...,7}x{0,1} stammen. Dann sollte man auch noch die Notation x_i = 0 einführen. In der aktuellen Definition ist es auch schwierig von Teilmengen zu sprechen, weil alle Regeln dann aus {0,1}^n kommen und es offensichtlich immer eine echte Teilmenge davon gibt. Dabei wird dann halt nicht mehr das Plätzchen getrackt.

  • Ich denke, dass die Definition der Plätzchenempfehlung fehlerhaft ist. In der Aufgabe wird es als eine Variable x aus {0,1} definiert. Das definiert allerdings das Plätzchen nicht. Also sollte x aus {1,...,7}x{0,1} stammen. Dann sollte man auch noch die Notation x_i = 0 einführen. In der aktuellen Definition ist es auch schwierig von Teilmengen zu sprechen, weil alle Regeln dann aus {0,1}^n kommen und es offensichtlich immer eine echte Teilmenge davon gibt. Dabei wird dann halt nicht mehr das Plätzchen getrackt.

    Ich denke, dass die Definition stimmt. Man muss zwischen Variablen und Werten unterscheiden:

    L ist eine Variable x mit Werten in {0,1}.

  • Und wie ist dann 1-x definiert? Also 1 minus eine Variable (und nicht den Wert dieser Variablen). Die Typen stimmen nicht!

    Hmm... ich glaube, ich verstehe dein Problem nicht. 1-x ist einfach ein Term (so wie a2 + b2 ), der eine Variable enthält und damit ja auch wieder eine Variable, die wir mit x^quer bezeichnen. Die Werte der Variablen liegen dann in der Menge {0,1}.

  • Es gilt auch {x_1, x_3}={1,1}={1} und dann kommt Blödsinn heraus.

    Der Blödsinn sind die Mengenklammern und das zweite Gleichheitszeichen. Das sind keine Mengen, sondern Tupel. Schreib also runde Klammern, dann gerätst Du auch nicht in Verwirrung. (x_1, x_3)=(1,1) ist eine Kurzform für "x_1=1 und x_3=1". Das macht (1,1) aber nicht zur Menge {1,1}, die man zu {1} normalisieren könnte.


    Zitat

    Und wie ist dann 1-x definiert?

    Mathematisch. Nimm den Wert der beteiligten Operanden und wende den Operator darauf an. Der Wert von 1 ist 1, der Wert von x ist 0 oder 1, das Ergebnis ist 1 oder 0. Die Typen passen perfekt.

  • Ich denke, dass die Definition der Plätzchenempfehlung fehlerhaft ist. In der Aufgabe wird es als eine Variable x aus {0,1} definiert. Das definiert allerdings das Plätzchen nicht. Also sollte x aus {1,...,7}x{0,1} stammen. Dann sollte man auch noch die Notation x_i = 0 einführen. In der aktuellen Definition ist es auch schwierig von Teilmengen zu sprechen, weil alle Regeln dann aus {0,1}^n kommen und es offensichtlich immer eine echte Teilmenge davon gibt. Dabei wird dann halt nicht mehr das Plätzchen getrackt.

    Aufgabe 18 schrieb:

    Eine Plätzchenempfehlung L ist eine Variable x mit Werten in der Menge {0, 1} oder ihre Negation x_quer = 1 - x.


    Hallo Henk,

    ich denke deine Verwirrung kommt daher, dass dir der zweite Teil der Definition der Plätzchenempfehlung abhanden gekommen ist.

    Eine Plätzchenempfehlung ist also immer entweder x_i oder x_i_quer und keine Zahl aus {0,1}.


    Du meinst ja, dass so etwas gilt wie zum Beispiel: x_1=1, x_2=0 , x_3=1,... (also die Variablen haben Werte)

    Das hat jetzt aber das Problem, dass für die Mengen gilt: {x_1,x_2} = {1,0} (hier werden Gleichheitszeichen verwendet, also können wir auch das Gleichheitszeichen benutzen). Es gilt auch {x_1, x_3}={1,1}={1} und dann kommt Blödsinn heraus.

    An der Stelle musst du nochmal aufpassen. Die Plätzchensorten x_1,...,x_7 nehmen auf den verschiedenen Tellern Werte in {0,1} an. Dieser Wert ist aber von Teller zu Teller verschieden (siehe Tabelle) je nachdem ob das Plätzchen auf dem Teller liegt oder nicht.

    Mit den Mengen meinst du hier Plätzchenregeln, die aus Plätzchenempfehlungen bestehen (Vorsicht! Dies sind keine Zahlen aus {0,1} sondern Variablen und ihre Negationen. Siehe oben.).

    Man kann dann die Plätzchenregel für einen speziellen Teller auswerten.


    Für dein Beispiel sieht das so aus:

    Plätzchenregel t={x_1,x_3} liefert die Funktion f_t(Teller) = x_1 * x_3.

    Wenden wir diese Funktion nun auf Teller 1 an, erhalten wir: f_t(Teller 1) = 1 * 0 = 0. An dieser Stelle werden die Werte der Plätzchen auf dem jeweiligen Teller eingesetzt. Die 0 sagt uns nun, dass die Plätzchenregel den Teller nicht überdeckt.


    Hilft dir das weiter? :)

  • Plätzchenregel t={x_1,x_3} liefert die Funktion f_t(Teller) = x_1 * x_3.

    Das Problem ist hier doch einfach, dass das x_1in der Plätzchenregel nicht das gleiche ist, wie das x_1 in der Funktion. Korrekterweise sollten die x_i Elemente des Polynomrings sein und die "Werte" der Einsetzungshomomorphismus. Es ist halt überhaupt nicht sinnvoll definiert, was die Menge {x_1, x_3} überhaupt sein soll.

  • Ich bin mir nicht sicher, ob das nicht eher ins Feedback gehört, aber hier mein Vorschlag: Man könnte eine Plätzchenempfehlung auch als eine bestimmte Art von Funktion von {0,1}^n nach {0,1} definieren. In dem Fall wäre x_1 die Funktion, die einen Teller (v_1, ..., v_n) auf v_1 abbildet und x_1 quer die Funktion, die einen Teller (v_1, ..., v_n) auf 1-v_1 abbildet. Dann wäre die Plätzchenregel t={x_1, x_2quer} eine Menge von Funktionen (wobei x_1 und x_2 klar ungleich sind und zusammen enthalten sein können, dass x_1 und x_1quer nicht zusammen enthalten sein dürfen müsste man dann weiterhin extra ausschließen, da beide ungleich sind.) Am Ende wäre f_t(Teller) = x_1(Teller)*x_2quer(Teller) = v_1(1-v_2), was das gleiche Ergebnis ist. Eventuell ist das etwas klarer als mit Variablen.

  • Die relevanten Fragen sind wohl, ob

    1. x_1 jetzt eine Plätzchensorte, eine Variable oder eigentlich ein Polynom in einer Variablen ist?

    2. x_1x_2 eine Menge ist (ein Plätzchenregel ist nach Definition ja eine Menge), eine Variable oder eigentlich ein Polynom in mehreren Variablen ist?


    Ich verstehe nicht, was eine Variable mit Werten in {0,1} sein soll. Was ist eine Variable mit Wert? Inwiefern unterscheidet sich das von einem Polynom in einer Variablen. Und wie funktioniert das "Durch Auswertung der Negation und Multiplikation erhält man zu jeder Plätzchenregel t eine Funktion" genau(also nicht nur an einem Beispiel wie das in der Aufgabenstellung der Fall ist)?

  • Die relevanten Fragen sind wohl, ob

    1. x_1 jetzt eine Plätzchensorte, eine Variable oder eigentlich ein Polynom in einer Variablen ist?

    2. x_1x_2 eine Menge ist (ein Plätzchenregel ist nach Definition ja eine Menge), eine Variable oder eigentlich ein Polynom in mehreren Variablen ist?

    Sieh dir den Text noch einmal genau an. Auch bei der Definition der Plätzchenregel fehlt dir scheinbar ein Teil für das richtige Verständnis.


    Aufgabe 18 schrieb:

    Eine Plätzchenregel t ist eine Menge von Plätzchenempfehlungen, die durch Multiplikation miteinander verknüpft sind, was logisch der Operation und

    entspricht. [...]

    Eine Plätzchenregel ist demnach eine Kombination von Plätzchenempfehlungen.

    Ich verstehe nicht, was eine Variable mit Werten in {0,1} sein soll. Was ist eine Variable mit Wert?

    Das bedeutet, dass die Variable den Wert 0 oder den Wert 1 annehmen kann. Wie du auch im Text lesen kannst bildet die Funktion f_t von {0,1}^n nach {0,1} ab. Alle Variablen kommen also aus {0,1}. Dies ist die Definitionsmenge der Funktion.


    Und wie funktioniert das "Durch Auswertung der Negation und Multiplikation erhält man zu jeder Plätzchenregel t eine Funktion" genau(also nicht nur an einem Beispiel wie das in der Aufgabenstellung der Fall ist)?

    Die Funktion f_t, die ich oben schon angesprochen habe, ergibt sich direkt aus der Plätzchenregel t. Dies funktioniert indem du die enthaltenen Plätzchenempfehlungen multiplizierst und x_i_quer=(1-x_i) benutzt. Auf diese Weise erhälst du eine Funktion, die du auf die verschiedenen Teller anwenden kannst.


    Ich hoffe das bringt etwas mehr Klarheit.

    Gute Nacht oder frohes Weiterknobeln!

  • Nunja, ich bezweifle, dass diese Diskussion noch etwas bringt. Ihr schafft es irgendwie ziemlich gekonnt, meinen Fragen auszuweichen ;) Zugegebenermaßen waren einige Fragen auch nicht besonders sinnvoll, weil mich teilweise einiges ziemlich verwirrt hat. Ich weiß jetzt schon, was ihr meint (und habe die Aufgabe auch gelöst), verstehe aber immer noch nicht wie das alles funktionieren soll.


    Ich glaube, dass der Hauptgrund für die Verwirrung war, dass die x_i mehrfach und für verschiedene Konzepte verwendet werden.

    "Wir haben sieben Plätzchensorten x1,…,x7 " widerspricht sich für mich damit, dass man eine Funktion f_t(Teller) = x_1 * x_3 konstruiert. Man kann halt nicht Plätzchensorten miteinander multiplizieren, sondern nur Plätzchenempfehlungen.


    Mir ist auch klar, wie man Plätzchenempfehlungen miteinander multipliziert. Dafür nimmt man das Produkt der Variablen (oder besser: Polynome) und erhält ein neues Polynom, zum Beispiel eben x_1*x_3.


    Was mir aber immer noch absolut unklar ist, ist was eine Plätzchenregel genau ist. Das ist als eine Menge von Plätzchenempfehlungen definiert, mit der Verknüpfung der Multiplikation.

    Die Menge ist wohl sowas wie {x1,x3,x5} und die Multiplikation ist x1x3x5. Was davon ist jetzt aber die Plätzchenregel? Es kann ja schon irgendwie nicht beides gleichzeitig sein, weil das eine Menge und das andere ein "Produkt von Variablen", also ein Polynom ist. Einerseits schreibt ihr allerdings, dass eine Plätzchenregel x1x3x5 sein soll. Andererseits betrachtet die Aufgabe später Teilmengen von Plätzchenregeln und dafür braucht man ja schon die Menge.

    Sehe ich hier im letzten Teil etwas falsch?

    Mich würde interessieren, wie man die Verknüpfung auf der Menge als Abbildung mathematisch definiert, vor allem was die Zielmenge ist.


  • Von einer Menge {x1,x3,x5} ist in der Aufgabe nicht die Rede. Sondern von {L1,L3,L5}. Diese Verwirrung hast Du selbst hineingebracht.


    Ansonsten bezeichnet xi eine Plätzchensorte und auch die Variable dieser Plätzchensorte. UND es repräsentiert eine Empfehlung für diese Plätzchensorte. Mit einem Querstrich drüber ist es eine Empfehlung gegen diese Plätzchensorte. Die überstrichene Version kann ich hier nicht schreiben (wo ist MathJax für Latex?), ich schreibe es mal als /xi


    Eine Plätzchenregel ist eine Menge von Empfehlungen, z.B. {L1,L3,L5}, und kann in ein Polynom übersetzt werden.


    Es gibt zwei Klassen von Empfehlungen für die Plätzchensorte xi , nämlich xi wie "iss xi" oder /xi "iss xi nicht". Im Polynom wird die Empfehlung Lp=xi durch den Term xi dargestellt. Und die Empfehlung Lq=/xi durch den Term (1-xi) (p,q zwei beliebige Nummern für irgendwelche Empfehlungen).


    Ein Plätzchenteller ist ein n-Tupel {0,1}n , in dem der i-te Wert angibt, ob die Plätzchensorte xi auf dem Teller liegt. Die Funktionsdarstellung einer Plätzchenregel bekommt im Prinzip einen Teller als Parameter, d.h. der i-te Wert des Tupels wird auf den i-ten Parameter der Funktion abgebildet. Damit man weiß, was gemeint ist, werden die darum schön ordentlich wieder als xi bezeichnet. Das Ergebnis der Funktion ist ein Wert aus {0,1}.


    Statt {0,1} hätte man auch { false, true } schreiben können; wir operieren hier auf der zweielementigen Zahlenmenge B der booleschen Werte und befassen uns demnach mit boolescher Algebra. Eine Plätzchenregel wird also von einer booleschen Funktion repräsentiert, die Bn auf B abbildet.

  • Von einer Menge {x1,x3,x5} ist in der Aufgabe nicht die Rede. Sondern von {L1,L3,L5}. Diese Verwirrung hast Du selbst hineingebracht.

    Die Menge {L1,L3,L5} wird in der Aufgabe nirgendwo betrachtet, die Indizes müssen aufsteigend sein und spiegeln eine Liste von Plätzchenempfehlungen wieder. Die Menge {x1,x3,x5} ist ein Beispiel für eine solche Menge an Plätzchenempfehlungen. Also L1=x1, L2=x3, L3=x4. Um über Teilmengen von Plätzchenregeln reden zu können (das passiert ja dann später in der Aufgabe), muss das sehr wohl eine Menge sein. Ich weiß nicht, wie du Teilmengen von Polynomen definierst.

    Eine Plätzchenregel ist eine Menge von Empfehlungen, z.B. {L1,L3,L5}, und kann in ein Polynom übersetzt werden.

    Das ist halt nicht das, was dazu im Aufgabentext steht. Diesem ist zu entnehmen, dass die Elemente (also Plätzchenempfehlungen) verknüpft sind und nicht, dass man aus der Menge ein Polynom ableiten kann.

  • Das ist eine schöne Erklärung von Rolf B da oben, finde ich.

    Recht hast du damit, Henk, dass die Plätzchenempfehlungen L_i in einer Plätzchenregel vom Grad k mit L_1,...L_k bezeichnet werden.


    Und jetzt noch einmal etwas zur Plätzchenregel und den Plätzchenempfehlungen:


    Um über Teilmengen von Plätzchenregeln reden zu können (das passiert ja dann später in der Aufgabe), muss das sehr wohl eine Menge sein. Ich weiß nicht, wie du Teilmengen von Polynomen definierst.

    Wenn du mal in der Aufgabenstellung nach dem Wort "Teilmenge" suchst, dann wirst du feststellen, dass wir dieses Wort an einer einzigen Stelle benutzt haben. Und zwar hier:


    Aufgabe 18 schrieb:

    Dabei heißt ein Muster t Primmuster, wenn keine echte Teilmenge der Menge der Plätzchenempfehlungen in t ein Muster bildet.

    In dieser Definition wird von Teilmengen von Plätzchenempfehlungen in einem Muster (einer Plätzchenregel) gesprochen und nicht von Teilmengen von Plätzchenregeln.


    Die Funktionsdarstellung einer Plätzchenregel hat Rolf B gut erläutert und ich bin der Meinung, dass dies auch so im Text steht. Hier sind wir wieder bei "Durch Auswertung der Negation und Multiplikation erhält man zu jeder Plätzchenregel eine Funktion.".


    Damit sollte nun alles klar sein, oder? :)

  • Es tut mir Leid, dass ich immer noch nicht ganz nachvollziehen kann, was eine Plätzchenregel ist. In der Aufgabe steht was von einer Menge mit einer Verknüpfung und du schreibst zum Beispiel

    Plätzchenregel t={x_1,x_3}

    Andererseits meint ihr, dass das keine Menge ist, aber dann auch doch irgendwie schon.

    Die Aufgabe schreibt dann zum Beispiel t=L_1L_2L_3, also ist es hier eher naheliegend, dass es ein Polynom ist.

    Ich sehe gerade noch zwei mögliche Interpretationsweisen:

    A)

    Wenn ich das richtig verstehe, ist eine Plätzchenregel einfach ein Polynom, dass aus einer Menge von Plätzchenempfehlungen durch Multiplikation hervorgeht. Eine Plätzchenregel hat also nur bei der Konstruktion mit einer Menge zu tun und ist nicht selbst eine Menge?

    Bei der Betrachtung der Primmuster nimmt man dann die zugrundeliegende Menge, betrachtet Teilmengen davon und betrachtet dann Muster, die aus diesen Teilmengen hervor (das ist jetzt deine Beschreibung nochmal in eigenen Worten, oder?)

    Dann ergibt allerdings die Definition in der Aufgabenstellung wenig Sinn, weil das dann eine Menge mit einer Struktur ist und sich nicht nur daraus ergibt. Außerdem verstehe ich dann die Mengenschreibweise nicht.


    B)

    Alternativ ist eine Plätzchenregel eine Menge von Plätzchenempfehlungen (mit Zusatzeigenschaften, die jetzt erst einmal irrelevant sind). Das hatte ich bei meinen letzten Posts angenommen, weil das in der Aufgabe als Menge steht und ihr es so verwendet habt, allerdings widerspricht sich das mit der Notation t=x_1x_2 und euren letzten Posts.

    Dass man die Menge in ein Polynom übersetzen kann, ist mir schon klar, die Frage ist halt, ob es an sich eine Menge oder ein Polynom ist (und ja, das ist für das Verständnis der Aufgabe relevant).


    In beiden Fällen ist mir klar, wie man die Funktion daraus konstruiert, ich würde halt mal gerne wissen, was ihr jetzt eigentlich meint (A oder B). Gefühlt verwendet ihr immer die Definition, die zum Erklären einer spezifischen Frage gerade besser passt ;)

  • Lieber Henk,

    es stimmt, an der Stelle habe ich die Plätzchenregel unsauber notiert. Richtig ist es natürlich zu schreiben: t=L_1*L_2 mit L_1=x_1 und L_2=x_3.

    Danke für den Hinweis. Falls das der Grund deiner anhaltenden Verwirrung ist, dann haben wir es jetzt hoffentlich geklärt.


    Wir haben die Definition der Plätzchenregel und Plätzchenempfehlungen nun schon ein paar mal erläutert. Dabei sind unsere Aussagen hier mit denen in der Aufgabenstellung konsistent. Ich sehe an dieser Stelle nicht, wie ich dir noch helfen kann.


    Ich wünsche dir schöne Weihnachten!