Beiträge von Christian Hercher

    Genauso, wie Glückslicht es sagt, ist es:


    Bei zwei Rentieren wählt das zweite eine Wahrscheinlichkeit von 1, wenn das erste nicht angekommen ist, und dessen Wahrscheinlichkeit p, wenn es angekommen ist. Das erste der beiden Rentiere gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit p*(1-p). Dabei steht der erste Faktor für die Wahrscheinlichkeit, dass es selbst ankommt und der zweite, dass das zweite Rentier nicht durchkommt. Das wird maximal für p=1/2.


    Bei drei Rentieren gibt es nun die beiden Möglichkeiten, dass das erste Rentier durchkommt, oder aber eben nicht. Im zweiten Fall liegt für die beiden übrigen Rentiere die Situation vor, als ob es nur diese beiden gäbe, sodass das zweite Rentier nach oben beschriebenem Vorgehen p=1/2 wählt. Im ersten Fall, dass das erste Rentier A durchgekommen ist (und die Wahrscheinlichkeit q gewählt hatte), muss B eine Wahrscheinlichkeit p<=q wählen. Ist q>= 1/2, so könnte B wieder p=1/2 wählen, was ihn mit maximaler Wahrscheinlichkeit gewinnen lässt. A würde also nur dann gewinnen, wenn es selbst ankommt, aber weder B noch C, was mit Wahrscheinlichkeit q,1-p=1/2 bzw. 1-q (wenn B nicht ankommt, muss C nur so schnell laufen wie A) geschieht, also mit Wahrscheinlichkeit q*(1-q)* 1/2. Ist dagegen q<1/2, so muss B (und damit auch C) eine kleinere Wahrscheinlichkeit als 1/2 wählen, um schneller als A sein zu können. Da die Gewinnwahrscheinlichkeit p*(1-p) für B im Intervall [0; 1/2] für p streng monoton wachsend ist, also für größere p immer größer wird, will B das maximal mögliche p wählen, sodass es gegen A noch gewinnen kann, was für p=q<1/2 der Fall ist. Wieder gewinnt A genau dann, wenn es selbst ankommt, aber weder B noch C, was mit einer Wahrscheinlichkeit von q*(1-q)^2=q*(1-q)*(1-q)>q*(1-q)*1/2, da q<1/2 gilt. Also hat A im zweiten Fall eine höhere Gewinnwahrscheinlichkeit als im ersten und wählt q<1/2 so, dass q*(1-q)^2 maximal wird, was für q=1/3 der Fall ist.


    Und so zieht sich das von einem zum nächsten Rentier rückwärts auf: Gibt es vier Rentiere und das erste kommt nicht an, landet man beim Fall für drei Rentiere. Kommt es an, so muss das zweite Rentier eine Wahrscheinlichkeit <= der des ersten wählen, hat aber keinen Vorteil (für die eigene Gewinnchance) eine echt kleinere zu wählen, sodass es dieselbe verwendet. Es ergibt sich für die Gewinnwahrscheinlichkeit des ersten von vier Rentieren dann der Ausdruck p*(1-p)^3, wenn es selbst die Durchhaltewahrscheinlichkeit p gewählt hat, was für p=1/4 maximal wird. Für n Rentiere wird die eigene Gewinnwahrscheinlichkeit des ersten Rentieres für p=1/n maximal und beträgt p*(1-p)^{n-1}=(n-1)^{n-1}/n^n.


    Cyrix

    Wenn ein Rentier A mit p=1/10 gelaufen und erfolgreich angekommen ist, dann kann ein nach ihm startendes Rentier B, welches mit einer zu einer Wahrscheinlichkeit >1/10 (z.B. 1/2) gehörenden Geschwindigkeit läuft, nicht mehr gewinnen: Entweder B kommt gar nicht an, oder ist selbst im Erfolgsfall langsamer als A. Also muss es mindestens mit der gleichen Geschwindigkeit(und damit höchstens der gleichen Wahrscheinlichkeit) laufen, um überhaupt eine Chance auf den Sieg zu haben. Schneller zu laufen, bringt ihm aber keine Vorteile, sodass es (aufgrund der Gleichstands-Regelung) genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wählt wie das zuvor durchgekommene Rentier.


    Cyrix

    So Leute, ich ziehe von dannen. Ich gebe abschließend noch einmal den Rat, die Aufgabe nicht zu verkomplizieren, sondern einfach mal mit gesundem Menschenverstand den mathematischen Kern zu ermitteln. Wenn mehrfach geschrieben wird, dass es nur um Durchhaltewahrscheinlichkeiten zwischen inklusive 0 und 1 geht, dann kann man auch damit arbeiten. Natürlich sind das, wenn man es denn auf die Goldwaage legen will, Werte, die nur im Grenzwert angenommen werden. Aber, da man sich diesen beliebig stark nähern kann, kann man auch mit diesen Grenzwerten arbeiten...


    Oder einfach die Aufgabe so lesen, wie sie gemeint ist.


    Cyrix

    ich wüsste gerne, ob ich bei einer Zeitwahl für ein Rentier davon ausgehen kann, dass es dann die Strecke mit einer KONSTANTEN Geschwindigkeit läuft.

    Das wird für mich nicht deutlich, weil "gleich stark" Verschiedenes bedeuten kann?

    Ob die Rentiere auf der Rennstrecke mal schneller und mal langsamer laufen, oder eine konstante Geschwindigkeit besitzen, ist irrelevant. Je höher die Durchschnittsgeschwindigkeit ist, desto geringer die Durchhalte-Wahrscheinlichkeit.


    Und dass die Rentiere gleichstark sind, bedeutet, dass bei gleicher angepeilter Durchschnittsgeschwindigkeit, sie alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ins Ziel kommen.


    Cyrix

    Macht euch das Leben doch nicht schwieriger, als es ist. Es kommt aufs Gleiche hinaus, ob man die Wahrscheinlichkeit auf 1 setzt, oder nur im Grenzwert gegen 1 gehen lässt...


    Cyrix

    Jedes Rentier berücksichtigt die zu erwartenden späteren Strategien der anderen Rentiere und rechnet sich für sich die daraus folgende aktuelle Optimalwahrscheinlichkeit für den Sieg am Schluss aus?

    Jedes Rentier wählt seine Strategie so, dass es mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit gewinnt. Dies schließt natürlich ein, dass ggf. auch nach ihm noch Rentiere starten...


    Cyrix

    Moin moin miteinander, ich sehe zwar eine Angabe, dass p mit höherer Geschwindigkeit fällt, aber nirgends explizit erwähnte Grenzen. Vermutlich ja 0 und 1. Aber trotzdem noch mal kurz nachgefragt, was die untere und obere Schranke für p ist.


    Die Durchhalte-Wahrscheinlichkeiten bewegen sich in den Bereichen, in denen sich Wahrscheinlichkeiten eben bewegen dürfen, also minimal 0 und maximal 1 (Grenzen eingeschlossen).


    Cyrix

    Ich habe die gleiche Frage - ich habe überlegt, ob diese Frage zur der Aufgabe überhaupt beantwortet werden muss, und bin zum Ergebnis "Ja" gekommen. ;) Es ist doch für die Aufgabe relevant, ob bei Ausfall beider/aller Rentiere automatisch das letzte gewinnt, weil das als "Gleichstand" zählt, oder ob der ganze Wettkampf wiederholt wird!

    Dann überlege, ob der Fall überhaupt eintritt, oder ob das ein Rentier auch verhindern kann... ;-)


    Cyrix