Beiträge von Christian Hercher

    Dann kann man sich auch an die Konstruktion von Grahams Number machen: Wir modifizieren das Spiel so, dass Plätzchen nicht nur verdoppelt sondern verdreifacht werden, wenn man sie ein Feld weiter schiebt (das "Vertauschen" soll weiterhin ein Plätzchen kosten). Dann wird die Plätzchenanzahl vom vorletzten Feld verdreifacht, um die des letzten Felds zu erreichen; die vom vorvorletzten als Exponenten in eine Dreierpotenz geschrieben, um die vom vorletzten zu erhalten; die vom vorvorvorletzten als Höhe eines Dreierpotenzturms genommen, um die vom vorletzten zu erhalten; ...


    Ist a die Anzahl der Plätzchen, die man maximal auf dem n-k-ten Feld von insgesamt n zur Verfügung stehenden erzeugen kann, so ist 3↑^(k-1) a die maximale Anzahl an Plätzchen, die man auf dem n-(k-1)-ten Feld erzeugen kann. Dabei stehe 3↑^(z) a für den Ausdruck 3↑↑...↑ a mit insgesamt z Pfeilen. Definieren wir noch zusätzlich 3↑^(0) z als 3*z ergeben sich also maximal 3↑^(0) 3 ↑^(1) 3 ... ↑^(n-2) 3 Plätzchen auf dem letzten Feld, da man als erstes in jedem Fall das eine Plätzchen auf dem ersten Feld zu 3 Plätzchen auf dem zweiten machen muss und ab dann die gerade zuvor erläuterte Rekursion , beginnend mit k=n-2, anwenden kann.


    Wenn man also zu Beginn n=6 Felder zur Verfügung hat, erhält man maximal P_1:=3*3↑3↑↑3↑↑↑3↑↑↑↑3 Plätzchen, was deutlich größer als G_1:=3↑↑↑↑3 ist. Insbesondere ist P_1>G_1+2. Generell erhält man auf einem Brett mit n Feldern mehr Plätzchen als 2 + 3↑^(n-2) 3.


    Dies führt uns zu folgender Konstruktion einer Zahl, die größer ist als Grahams Number G_64:


    *) Starte das Spiel auf 6 zur Verfügung stehenden Feldern. Die maximale Plätzchenanzahl, die du darauf erreichst, nenne P_1. Es ist P_1 > G_1 + 2.

    *) Spiele nun das Spiel auf einem Brett, auf dem P_1 Felder zur Verfügung stehen. Die maximale Plätzchenanzahl, die du darauf erreichst, nenne P_2. Es ist P_2 > 2 + 3↑^(P_1 - 2) 3 > 2 + 3↑^(G_1) 3= 2+ G_2, da G_2 als 3↑^(G_1) 3 definiert ist.

    *) Spiele das Spiel nun auf einem Brett, auf dem P_2 Felder zur Verfüung stehen. Die maximale Plätzchenanzahl, die du darauf erreichst, nenne P_3. Analog oben ist P_3 > 2 + 3↑^(P_2 - 2) 3> 2 + 3↑^(G_2) 3 = 2 + G_3 mit G_3:=3↑^(G_2).

    *) ...

    *) Spiele das Spiel nun auf einem Brett mit P_63 Feldern. Die maximale Plätzchenanzahl, die du darauf erreichst, nenne P_64. Nun ist P_64 > ... > G_64, was Grahams Number ist.



    Cyrix

    Mal ein bisschen was zu den m.E. hier fehlenden Begründungen:


    *) Nach dem Satz zur Euler-Gerade liegen in jedem Dreieck Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt auf einer Geraden -- der Euler-Geraden -- , wobei der Schwerpunkt zwischen Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt liegt und diese Strecke im Verhältnis 1:2 teilt, sodass man den Höhenschnittpunkt durch eine zentrische Streckung am Umkreismittelpunkt mit dem Faktor 3 erhält.

    *) Identifiziert man die einzelnen Punkte in der Ebene mit Koordinatenpaaren (bzw. äquivalent mit komplexen Zahlen) und setzt dabei den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks als Koordinatenursprung (bzw. 0) fest, so ergibt sich also, dass man den Höhenschnittpunkt dieses Dreiecks aus dem Schwerpunkt dieses Dreiecks durch Multiplikation mit 3 erhält. Da der Schwerpunkt eines jeden Polyeders (also insbesondere auch Dreiecks) sich aus dem arithmetischen Mittel seiner Eckpunkte ergibt, erhalten wir hie, dass sich der Höhenschnittpunkt des Dreiecks aus der Summe (der Koordinaten) seiner drei Eckpunkte ergibt.

    *) Da alle aus den Punkten auf der Peripherie der Insel gebildeten Dreiecke den gleichen Umkreismittelpunkt (nämlich den Mittelpunkt der Insel) besitzen, kann man diese Festlegung des Koordinatenursprungs auch global, d.h. unabhängig vom konkret betrachteten Dreieck, durchführen.

    *) Der Schwerpunkt des entstehenden Höhenfußpunktdreiecks ist also das arithmetische Mittel der drei entstehenden Höhenfußpunkte und nach der vorherigen Überlegung also 1/3 * der Summe aller beteiligten Punkte. Da jeder Punkt genau einmal ausgewählt wurde, ist -- unabhängig von der Zuordnung der Punkte auf die drei Dreiecke -- diese Summe immer identisch die Summe aller 9 Punkte, sodass der Schatz immer an der gleichen Stelle zu finden ist.



    Zusatzbemerkung: Über das Seitenmittendreieck (bzw. ein umschriebenes Dreieck, sodass das eigentlich betrachtete dann das Seitenmittendreieck des neuen ist) muss man hier gar nicht gehen. Aber als interessante Zusatzinformation habe ich das mal angehängt:

    Unter dem Seitenmittendreieck eines Dreiecks versteht man das Dreieck, was entsteht, wenn man die Mittelpunkte seiner drei Seiten miteinander verbindet. Über das Seitenmittendreieck gibt es ein paar Beobachtungen zu machen:

    *) Aufgrund des Strahlensatzes sind die Seiten des Seitenmittendreiecks parallel zu den Ausgangsseiten.

    *) Aufgrund dieser Parallelität liegen die Höhen des Seitenmittendreiecks auf den Mittelsenkrechten des Ausgangsdreiecks.

    *) Damit fallen der Höhenschnittpunkt des Seitenmittendreiecks und der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks zusammen.

    *) Auch aufgrund der Parallelität der Seiten des Ausgangs- und Seitenmittendreiecks verlaufen auch entsprechende Seitenhalbierende zueinander parallel, liegen also aufeinander (da der Mittelpunkt einer Seite des Ausgangsdreiecks, durch den eine Seitenhalbierende verläuft, ja gleichzeitig identisch ist mit einem Eckpunkt des Seitenmittendreiecks, durch den die dazu parallele Seitenhalbierende im kleineren Dreieck verläuft).

    *) Damit sind insbesondere die Schwerpunkte vom Ausgangs- und Seitenmittendreieck identisch. Tatsächlich erhält man das Ausgangsdreieck aus dem Seitenmittendreieck durch eine zentrische Streckung am gemeinsamen Schwerpunkt mit Streckungsfaktor -2.

    *) Also erhält man auch den Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks dadurch, dass man den Umkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks an dessen Schwerpunkt spiegelt und die Strecke verdoppelt. Damit liegen der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, der identisch ist mit dem Höhenschnittpunkt des Seitenmittendreiecks, der Schwerpunkt des Seitenmittendreiecks und auch dessen Umkreismittelpunkt auf einer Geraden, wobei der Schwerpunkt zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt liegt und diese Strecke 1:2 teilt, was den oben benutzten Satz über die Euler-Gerade beweist.

    Cyrix


    p.s.: Das gerade ich mal mit ein bisschen Elementargeometrie-Kenntnissen aufwarten kann... o.O ;)

    Nun, von den "normalen" großen Zahlen kommen wir auf dem Weg zu Grahams Number schon ein gutes Stück vorwärts. :) (Allerdings ist auch klar, dass der größte Teil des Weges dann noch zu gehen bleibt.)


    edit: Man kann sogar den Prozess der Erzeugung von Grahams Number in diesem Modell nachvollziehen und dabei eine Zahl konstruieren, die noch "leicht" größer ist. Mehr dazu nach der Lösungsdiskussion.


    Cyrix

    Die Wichtel müssen natürlich beim Anfertigen des Fensters die richtige Einheit verwenden, sonst passt das nicht in das Loch. Aber angeblich ist ja vor ein paar Jahren schon eine Marsexpedition am Mars vorbeigeflogen, weil bei der NASA manche in SI-Einheiten (Meter) und manche in US-Einheiten (inch, foot, yard, mile) gerechnet haben. Dagegen wäre ein Fenster, das man noch mal neu bauen muss, ein richtiges Schnäppchen. ;)

    Es war der Mars Climate Orbiter, bei dem die NASA in SI-Einheiten rechnete, die zur Kostenreduktion an Lockheed Martin zur Entwicklung outgesourcete Software zur Steuerung der Triebwerksdüsen jedoch im US-amerikanischen Einheitensystem...


    Aber nicht zu überheblich werden: Auch die ESA hat durch einen simplen, nicht behandelten Speicherüberlauf einer Variable schon mal hunderte Millionen in Rauch aufgehen lassen: Fehlgeschlagener Jungfernflug der Ariane 5 - Rakete.


    Cyrix

    Ich bin zwar nicht in die Organisation involviert, aber m.W. geschah die Mitteilung über einen Gewinn jeweils zuerst per Mail. Dabei wird man auch insbesondere zur Preisverleihung nach Berlin eingeladen. Für diejenigen, die nicht kommen konnten, wurden die Preise aber auch per Post im Anschluss an die Preisverleihung versendet.


    Cyrix

    So, es ist seit einiger Zeit recht ruhig. Deshalb verabschiede ich mich mal in den Abend, wünsche noch Viel Spaß beim Knobeln heute und den folgenden Tagen, ein frohes Weihnachtsfest und einen Guten Rutsch ins Neue Jahr! :)


    Viele Grüße

    Christian aka Cyrix

    Vielleicht nochmal mathematisch als Beispiel formuliert, um alle Klarheiten zu beseitigen :)


    Wenn nach X Schritten das Plätzchentupel (0 , 0 , 0 , a , b , c , 0 , 0) auf dem Brett liegt,

    und gilt: a > 0, b ≥ 0, c ≥ 0

    dann führt die Tauschoperation zum Tupel (0 , 0 , 0 , a-1 , c , b , 0 , 0).

    Jep.


    Cyrix

    Wenn man mal ganz mathematisch pingelig ist, wird doch nirgendwo in der Aufgabe vom Dezimalsystem ausgegangen, oder?

    D.h., man kann die Lösung im Unärsystem darstellen und Antwort 1 bzw 10 ist korrekt :P8o

    MathJo : ;) Solang nichts anderes gesagt ist, gelten die üblichen Konventionen. Und das bedeutet für Zahldarstellungen, dass sie im Dezimalsystem gegeben sind...


    Cyrix

    Hallo, wie ist das Bezahlen gemeint? Wird das Bezahlplätzchen von einem Stapel auf dem Tauschfeld genommen? Oder wo kommt es her?

    MagicMarie : Möchte man die Plätzchen zweier nebeneinander liegender Felder tauschen, dann muss man dafür -- nach Regel 3 -- ein Plätzchen bezahlen (d.h. an den Weihnachtsmann zurückgeben), welches vom Bezahlfeld vor den beiden Tauschfeldern genommen wird. (Insbesondere muss dort also überhaupt erst einmal mindestens ein Plätzchen gelegen haben, was man von diesem Feld wegnehmen und wieder dem WM geben kann.)

    Heißt „auf dem Feld“ zurückgeben, dass man VON dem Feld eines zurückgeben muss? Oder legt man im Gegenteil eines dort ab?

    Deine zweite Frage verstehe ich nicht. Vielleicht ist sie aber schon jetzt mitbeantwortet.


    Cyrix